牛頓319、證明“ lim[ f（x）/g（x）]=lim f（x）/lim g（x） ”

2021年1月5日，網(wǎng)友“稻草人”發(fā)表名為《極限——極限運(yùn)算法則證明》的圖片文章。

…極、限、極限：見(jiàn)《歐幾里得202~321》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

…運(yùn)、算、運(yùn)算：見(jiàn)《歐幾里得121》…

…法、則、法則：見(jiàn)《歐幾里得108》…

…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…

?

圖片內(nèi)容：…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見(jiàn)《歐幾里得66》…

?

定理3：

如果lim f（x）=A，lim g（x）=B，那么：

[…lim：limit…

…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

?

（1）lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）=A±B

…證明見(jiàn)《牛頓317》。

（2）lim[ f（x）g（x）]=lim f（x）lim g（x）=AB

…證明見(jiàn)《牛頓317》。

?

（3）若又有B≠0，則lim[ f（x）/g（x）]=lim f（x）/lim g（x）=A/B

?

證明：∵ lim f（x）=A，lim g（x）=B

?

根據(jù)“在自變量的同一變化過(guò)程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無(wú)窮小”（證明見(jiàn)《牛頓309》），得：

?f（x）=A+α，g（x）=B+β（α，β都是無(wú)窮?。?/p>

…α：Alpha（大寫Α，小寫α，中文音譯：阿爾法、阿拉法），是第1個(gè)希臘字母…

…無(wú)、窮、無(wú)窮，小，無(wú)窮?。阂?jiàn)《牛頓280》…

…β：beta（大寫Β，小寫β，中文音譯：貝塔），是第2個(gè)希臘字母…

設(shè)γ=（A+α）/（B+β）-A/B=1/[B（B+β）]·（Bα-Aβ）

…γ：第三個(gè)希臘字母，讀做“伽（g?。R”，小寫為γ，大寫Γ…

?

這表示，γ可看作兩個(gè)函數(shù)的乘積，其中（Bα-Aβ）是無(wú)窮小。

…兩個(gè)無(wú)窮小的差是無(wú)窮?。ㄗC明見(jiàn)《牛頓315》）。

?

下面我們證明1/[B（B+β）]在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有界。

…有、界、有界：見(jiàn)《牛頓304》…

?

由“如果（x→x0）lim f（x）=A（A≠0），那么就存在著x0的某一去心鄰域u（去心）（x0），當(dāng)x∈u（去心）（x0），有|f（x）|＞|A|/2”（證明見(jiàn)《牛頓318》）可知：

當(dāng)lim g（x）=B≠0時(shí)，存在著x0的某一去心鄰域u（去心）（x0），當(dāng)x∈u（去心）（x0），有|g（x）|＞|B|/2，從而|1/g（x）|＜2/|B|，于是

|1/[B（B+β）]|=1/|B|·1/|B+β|=1/|B|·1/| g（x）|＜1/|B|·2/|B|=2/B^2，即|1/[B（B+β）]|＜2/B^2

…∈：屬于…見(jiàn)《牛頓303》…

…^：乘方…

…ε^2：ε的平方…

[“在自變量的同一變化過(guò)程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無(wú)窮小”（證明見(jiàn)《牛頓309》）]

?

這就證明了1/[B（B+β）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)。

根據(jù)“有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小”（證明見(jiàn)《牛頓316》）得：γ是無(wú)窮小。

?

∵ γ=（A+α）/（B+β）-A/B；

f（x）=A+α，g（x）=B+β。

∴ γ=f（x）/g（x）-A/B

f（x）/g（x）=A/B+γ

?

∴ lim [f（x）/g（x）]=A/B=lim f（x）/lim g（x），證畢。

?

推論1：如果lim f（x）存在，c為常數(shù)，那么lim [cf（x）]=c lim f（x）

…推、論、推論：見(jiàn)《歐幾里得66》…

?

證明：設(shè)lim [cf（x）]=A，則根據(jù)“在自變量的同一變化過(guò)程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無(wú)窮小”（證明見(jiàn)《牛頓309》）得：

cf（x）=A+α（α是無(wú)窮?。?/p>

∴ f（x）=A/c+α/c

?

∵ 無(wú)窮小與常數(shù)的乘積是無(wú)窮?。ㄗC明見(jiàn)《牛頓316》）。

∴ α/c是無(wú)窮小。

?

∴ lim f（x）=A/c

∴ c lim f（x）=A=lim [cf（x）]，即lim [cf（x）]=c lim f（x）

“推論2：如果lim f（x）存在，n是正整數(shù)，那么lim [ f（x）]^n=[lim f（x）]^n

請(qǐng)看下集《牛頓320、證明“ lim [ f（x）]^n=[lim f（x）]^n ”》”

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