本篇目標(biāo)：

1.理解與或非三個邏輯門的結(jié)構(gòu)與特性；

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在上一篇中，我們理解了CMOS管的特性，總結(jié)起來也就兩個電路符號和兩句話：

左圖：X點(diǎn)高電平，AB導(dǎo)通；

右圖：X點(diǎn)低電平，AB導(dǎo)通。

在本篇中，我們要理解的目標(biāo)也就三個電路符號和三個表：

這三個電路符號分別叫做：與門、或門、非門。下面的三個表分別是這三個門對應(yīng)的“真值表”。只要看懂了這仨電路符號和仨表，我們這一篇也就完事了。好，目標(biāo)很明確，我們開始吧~

首先，我們先從最簡單的非門開始，也就是最右邊的那個圖，只有一個輸入一個輸出。我們用上篇介紹的PMOS管和NMOS管各一個，搭建出以下結(jié)構(gòu)：

圖中的VDD表示高電平，誰和它連接了，誰就是“1”；GND是接地線，誰和它連接了，誰就是“0”。其中A點(diǎn)是輸入，而Y點(diǎn)是輸出。

簡單分析一下，如果A點(diǎn)是高電平，那么根據(jù)CMOS管的特性，下面的N管導(dǎo)通，而P管截止，相當(dāng)于Y點(diǎn)被連接到了GND上了，也即“A1則Y0”；相反，如果A點(diǎn)是低電平，那么對應(yīng)的P管導(dǎo)通，N管截止，相當(dāng)于Y點(diǎn)被連接到了VDD上了，也即“A0則Y1”。好勒，借助這個結(jié)構(gòu)，我們就算完成了一次簡單的取反運(yùn)算，一個“叛逆的”“故意搗蛋的”電路。

這就是非門。它的電路符號是一個三角形末端一個圓圈，它的數(shù)學(xué)符號是“~”，它的真值表就兩行，也就是下圖的最右邊（此圖梅開二度，反復(fù)強(qiáng)調(diào).jpg）：

接下來我們要用類似的手段，用CMOS管來搭建與門、或門。但是在這之前，我們可以回想一下中學(xué)學(xué)過的電路知識：并聯(lián)和串聯(lián)

左邊是兩個串聯(lián)的開關(guān)，需要AB兩個同時連接，電路才導(dǎo)通；右邊是兩個并聯(lián)的開關(guān)，只要AB有一個連接，電路就導(dǎo)通。誒嘿，這個特性是不是和與門、或門的邏輯要求有些類似呢？我們注意到：與門要求，兩個輸入都是1，結(jié)果才是1，像不像串聯(lián)電路呢？或門要求，兩個輸入只要有一個是1，結(jié)果就是1，像不像并聯(lián)電路呢？

由此啟發(fā)，我們可以這樣擺弄我們的CMOS管，把與門電路的上半部分復(fù)制一份，然后并聯(lián)一下；把下半部分也復(fù)制一份，但是串聯(lián)一下，變成這個樣子：

上邊是兩個并聯(lián)的P管，下邊是兩個串聯(lián)的N管。我們分析一下可以發(fā)現(xiàn)：如果AB都是1，那么下面?zhèn)zN管導(dǎo)通，上面?zhèn)zP管截止，Y就連接到GND上了，得到0；而AB只要有一個是0，則下面至少一個截止，上面至少一個導(dǎo)通，Y就連接到VDD上了，得到1。誒嘿，怎么跟我們想要的與門“AB都1才得到1”的邏輯相反了呀？怎么肥事？

沒事，咱們不是已經(jīng)有了非門了嘛，反了就反了，不怕，后面再接上一個非門就是了，于是電路就變成這樣了：

我們再分析一下，AB兩點(diǎn)都是1的時候，X點(diǎn)被連接到GND，得到0，同時X點(diǎn)后面連接這一個非門，又把X點(diǎn)的值反過來，Y點(diǎn)得到1；AB中任意一個是0的情況也符合預(yù)期。Nice，我們成功地用CMOS管搭建出了一個與門。它的電路符號是一個半圓，它的數(shù)學(xué)符號是“&”，它的真值表正是下圖的最左邊（此圖反復(fù)梅開三度，反復(fù)強(qiáng)調(diào).jpg）：

接下來的故事線就順理成章了，似曾相識燕歸來，我們同樣對非門施展串聯(lián)并聯(lián)的把戲，這次是把上面的P管串聯(lián)，把下面的N管并聯(lián)，就變成了這樣：

我們再分析一下，不出意外：當(dāng)AB中有一個是1，下面并聯(lián)的N管至少有一個導(dǎo)通，上面的P管至少有一個截止，則Y連接到了GND，得到0；當(dāng)AB都是0時，下面的N管都是截止，上面的P管都是導(dǎo)通，則Y連接到了VDD，得到0。真巧，這個邏輯正好和非門相反。但是不慌，這次我們有經(jīng)驗(yàn)了——來，給它上一個非門：

最后分析一通：只要AB有一個是1，則X點(diǎn)連接到GND，得到0，再被非門翻過來，得到1；只有AB都是0，X點(diǎn)才連接到VDD，得到1，最后再被非門翻過來，得到0。完美~我們成功用CMOS管搭建出了或門。它的電路符號是個月牙型，它的數(shù)學(xué)符號是“|”，它的真值表就是下圖的中間部分（此圖梅開四度，再次強(qiáng)調(diào).jpg）：

這三個邏輯門，是數(shù)字電路的基礎(chǔ)，是我們造物的起點(diǎn)。后期我們搭建出復(fù)雜的數(shù)字電路，包括中央處理器CPU，都是從這三個門開始的。因此，這三個門的邏輯非常重要，需要牢記。對此，筆者以前是這么記的，初學(xué)者可以參考，分享一下：

非門是“叛逆的”，給1得到0；

與門是“認(rèn)真的”，全都是1才是1；

或門是“隨便的”，只要有1就是1。

最后再看一眼這個圖，很重要，要記住，梅開五度了屬于是：

拓展閱讀：

與、或、非三個門分別對應(yīng)布爾代數(shù)里面的加法、乘法、取反。這三個門就已經(jīng)是完備的了，也即，這三門的組合可以完成一切布爾代數(shù)的運(yùn)算。而布爾代數(shù)和我們從小學(xué)習(xí)的一般數(shù)學(xué)運(yùn)算，也就是加減乘除開方三角取對數(shù)等等等等是相通的。那些東西都可以變換成布爾代數(shù)里的加、乘、取反的組合。換言之，與或非三門，就可以完成四則運(yùn)算開方三角取對數(shù)等等花里胡哨的運(yùn)算，想想就很神奇，想想就很美妙！哇哦，與或非邏輯門，真是漂亮呀~

稍微有些不秒的是：與門、或門是冗余的！因?yàn)榕c門加上非門可以代替或門；或門加上與門也可以代替與門——非A與非B，再取反，就是A或B了；同樣的，非A或非B，再取反，就是A與B了。也即，或門、非門，這倆就已經(jīng)完備了；與門、非門，這倆也完備了，并不需要仨呀！壞了，與或非邏輯門，不漂亮了......

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（前方高能，全是數(shù)學(xué)，歡迎靚仔來挑戰(zhàn)）

更加不妙的是：隨便一個“奇怪門”就可以完備了。什么是奇怪門，我們不妨先想想，二輸入的邏輯門有幾個呢？

二輸入邏輯門的真值表也就4項(xiàng)，對應(yīng)的輸出都打上問號，我們直接窮舉，也就16種邏輯門：

分析一下，我們可以發(fā)現(xiàn)：

1號門、16號門直接就是常量，沒有用，辣雞門；

4號門、6號門直接就是導(dǎo)線，沒有用，廢物門；

11號門、13號門直接就是非門，只有非門，肯定是不完備的；

2號門就是與門，它再加上非門，就完備啦；

8號門就是或門，它再加上非門，也完備啦；

7號門是有名字的，叫異或門，它就算加上非門，也不會完備；

10號門也是有名字，叫同或門，它就算加上非門，同樣不會完備；

9號門是或非門，也就是或門再取反，可以抽象出非門，然后完備；

15號門是與非門，也即與門再取反，也可以抽象出非門，然后完備；

3號、5號、12號、14號門，沒有名字，暫且統(tǒng)稱為奇怪門，有趣的是，它們就算不加上非門，也是完備的；

例如：用3號奇怪門搭建一個非門，我們可以將A設(shè)定成常量1，這樣一來，3號奇怪門就會變成單輸入的，并且邏輯上等于取反B，好嘞，我們就得到一個基于奇怪門搭建的非門了。也即非B，等價于1 3 B。（注意紅色的3是運(yùn)算符）

接下來，我們用3號奇怪門搭建一個與門，先把B信號取反，我們不難發(fā)現(xiàn)：A與B，等價于A 3?非B。（注意紅色的3是運(yùn)算符）

誒嘿，非門、與門有了，或門也就組合一下，非A與非B，再取反就是或門了，于是乎，我們得到（注意紅色的3是運(yùn)算符）：

~B ?= 1 3 B

A&B = A 3?~B = A 3?(1 3 B)

A|B = ~(~A & ~B) = ~((1 3A) & (1 3 B)) = 1 3?((1 3 A) 3?(1 3 (1 3 B)))?

真有意思，我們只用一個3號奇怪門，就可以完成與或非運(yùn)算，完成布爾代數(shù)的加乘取反，進(jìn)而完成四則運(yùn)算開方三角取對數(shù)等等數(shù)學(xué)運(yùn)算。更有意思的是，5號、12號、14號奇怪門都可以哦，構(gòu)造方法類似，我就不再贅述了。

那為什么7號異或門、10號同或門無法完備呢？我們嘗試了一下，確實(shí)無法構(gòu)造出與或非等邏輯，但是要怎么證明它們不完備呢？這里就要有請抽象代數(shù)的群論登場了。筆者學(xué)藝不精，不會（流下了不學(xué)無術(shù)的淚水.jpg）

既然3、5、12、14都可以單門完備，難道不是更加簡潔嗎？與門、或門，都要配上非門才能完備，看起來差點(diǎn)意思呀？

其實(shí)，與門、或門（包括與非、或非）有特別特別好、特別特別重要的性質(zhì)，就是結(jié)合律和交換律?；貞浺幌旅烽_五度的那個圖和表，是不是AB對換位置也一樣？而且再來一個C，先算AB還是先算BC也都一樣？好像是的誒！好勒，基于此我們就可以定義出三輸入的與門、或門：

相應(yīng)的，3、5、12、14等奇怪門就沒有辦法定義三輸入了，也沒有交換律沒有結(jié)合律，真是越琢磨越奇怪了，很不好辦。這么一想，與門、或門有干凈利索的三輸入、可以交換可以結(jié)合。誒嘿，與或非邏輯門，又漂亮了呢！

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最后預(yù)告一下，下一篇組合電路，內(nèi)容量超級飽滿哦~