經(jīng)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)，x^a*sin1/x是一個常考常用的初等函數(shù)。先擺結(jié)論：

1、a<0時

2、a=0時

sin(1/x)仍是個sin，它值域仍為[-1,1]，仍為奇函數(shù)。x=0處極限不存在，因為1/x在0處兩側(cè)極限為±∞，sin(∞)不存在，即原點處振蕩頻率無限大。sin(1/x)水平方向趨于0。

3、0<a<1:

無窮時仍趨于0，不用懷疑，懷疑的拿0/0未定式證一下子就行。雖然上圖似乎衰竭的不夠快，但：

4、a=1

它是個平喇叭，兩側(cè)水平漸近線y=1，因為無窮時有x*sin(1/x)=sin(1/x)/(1/x)=1,等價無窮小

5、1<a<2

喇叭口開始由平變?yōu)闊o窮，但都在y=x之下：

對于原點處：

因為在x→0時，sin(1/x)仍是個sin，值域仍為[-1,1]，所以sin1/x為有界振蕩，而這些x^a（a>0）都是無窮小，∴無窮小乘一個有界量還是無窮小，函數(shù)x^asin(1/x)趨于0，即右極限=0。但x=0處受制于1/x的定義域，仍然是空定義點，所以我們會時常見到用花括號括起來的分段函數(shù)把這個可去間斷點給填上f(0)=0。

6、a=2

它的圖像有了更大的不同，它的斜漸近線是y=x。類推可得——

a=3時

隨著冪次的升高，x^asin1/x圖像形狀開始主要受x^(a-1)支配。

總結(jié)自李永樂660：