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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于風(fēng)險價值的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

在這項工作中，我通過創(chuàng)建一個包含四只基金的模型來探索 copula，這些基金跟蹤股票、債券、美元和商品的市場指數(shù)

摘要

然后，我使用該模型生成模擬值，并使用實際收益和模擬收益來測試模型投資組合的性能，以計算風(fēng)險價值(VaR)與期望損失(ES)。

一、介紹與概述

Copulas 對多元分布中變量之間的相關(guān)性進(jìn)行建模。它們允許將多變量依賴關(guān)系與單變量邊緣分布相結(jié)合，允許我們對構(gòu)成多變量數(shù)據(jù)的每個變量使用許多單變量模型。Copulas 在 2000 年代開始流行。根據(jù) Salmon (2009) 的說法，Li (2000) 最近提出的Copulas應(yīng)用之一是 2008 年開始的金融危機。我們將使用 copulas 來模擬四個 ETF 基金的行為：IVV，跟蹤標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)；TLT，跟蹤長期國債；UUP，追蹤外匯指數(shù)；以及商品的 DBC

二、理論背景

copula 是一個多變量 CDF，其邊緣分布都是 Uniform (0,1)。假設(shè) Y 有 d 維，并且有一個多元?

?和邊緣?

。很容易證明，每個

?都是 Uniform(0,1)。因此，

?的 CDF 根據(jù)定義是一個 copula。使用 Sklar (1973) 的定理，然后我們可以將我們的隨機變量 Y 分解為一個 copula CY ，它包含關(guān)于我們的變量 Y 之間相互依賴的信息，以及單變量邊緣 CDFs FY ，它包含關(guān)于每個變量的所有信息單變量邊緣分布。對于 d 維，我們有：

并使每個

，我們有：

如果我們對等式（2）進(jìn)行微分，我們會發(fā)現(xiàn) Y 的密度為：

方程 (3) 中的結(jié)果允許我們創(chuàng)建多變量模型，這些模型考慮了變量的相互依賴性（方程的第一部分）和每個變量的分布（方程的第二部分）。我們可以使用 copula 和邊緣部分的參數(shù)版本來創(chuàng)建可用于運行測試和執(zhí)行預(yù)測的模型。在接下來的幾節(jié)中，我們將使用用于統(tǒng)計計算的 R 語言將高斯和 t-copula 擬合到介紹中描述的 ETF 的對數(shù)收益率。有了 copula 和邊緣，我們將使用模型來確定投資的風(fēng)險價值 (VaR) 和預(yù)期損失 (ES)。

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R語言多元Copula GARCH 模型時間序列預(yù)測

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三、算法實現(xiàn)與開發(fā)

像往常一樣，我們從讀取文件開始。圖 1 顯示了價格圖：注意 IVV 和 DBC（股票和商品）之間的關(guān)系以及 TLT 和 UUP（元和國債）之間的關(guān)系。

#?將?ETF?讀入read.zoo("F.csv")#?獲取最近501天tf[(T-500):T,]#?繪制價格pdf("價格.pdf")

在這種情況下，我們計算對數(shù)收益率。圖 2 顯示了收益圖。

#?計算對數(shù)收益le?<-?lag(e，-1log(ef)?-?log(lef)?)?*?100

然后我們做一個配對圖來確定結(jié)果是否相關(guān)，例如，正如期望的那樣，IVV 和 DBC 之間存在非常高的相關(guān)性。圖 3 顯示了配對圖。然后我們獲得邊距的參數(shù)，擬合每個變量的分布。結(jié)果見表一

#?擬合分布?fitdr##?得到結(jié)果矩陣#?將?AIC?函數(shù)應(yīng)用于第一項（值）#?params?列表的第四項?(loglik)AIC(saply?(saply(prms,?4))#?params?列表的第一項（估計）sapply?(sapply(pams,3))

圖 4 顯示了擬合分布與來自變量的真實數(shù)據(jù)進(jìn)行比較的圖?，F(xiàn)在我們有了邊緣分布，我們需要找到模型的 copula。我們首先使用概率變換并獲得?

?中的每一個，我們知道它們是 Uniform(0,1)。這是通過以下代碼完成的：

#?現(xiàn)在我們需要均勻分布IV?<-?pct(IVV,?a)rt?<-?cbind(uV?uL,?UP,?DC)

圖 5 顯示了均勻分布之間的相關(guān)性。通過均勻分布，我們可以看到哪種類型的參數(shù) copula 最適合。我們將擬合高斯 copula 和 t-copula，記錄它們的 AIC 并查看哪一個提供了最佳擬合。

圖 5：均勻分布之間的相關(guān)性

#?擬合高斯?copulafit.gaussian?<-?fitCopula?(ncp))#?記錄擬合的AICfit.aic?=?AIC(filik,###############################################?#############?現(xiàn)在是?t-copulafitCopula?(tcop,?url00))#?記錄擬合的AIC

AIC(fiiklength(fite)

比較兩種擬合，如表 II 所示，我們發(fā)現(xiàn) t-copula 擬合最好，因此我們將根據(jù) t-copula 的參數(shù)創(chuàng)建一個模型。然后，我們使用該模型生成 10,000 個觀察結(jié)果，模擬我們模型的可能結(jié)果。我們的模擬模型與擬合模型之間的圖形比較可以在圖 6 中看到 - 模擬非常接近擬合模型。

tCopula(parun")cop.dist?<-?mvdc(copt,parast1)rmvdc(co00)

現(xiàn)在我們有了模擬的觀察結(jié)果，我們將使用參數(shù)方法計算風(fēng)險價值 (VaR) 和預(yù)期損失 (ES)。我們將假設(shè)一個投資組合（任意選擇）在 IVV 中投資 30%，在 TLT 中投資 15%，在 UUP 中投資 35%，在 DBC 中投資 20%。為了計算投資組合 w 的收益率 Rp，我們簡單地使用矩陣代數(shù)將我們的模擬收益率 Rs 乘以權(quán)重，如 Rp = Rs × w。然后我們將 t 分布擬合到 Rp 并使用它來估計 VaR 和 ES。對于 t 分布，VaR 和 ES 的公式為：

其中：

? S：倉位大小

? F -1 ν：逆 CDF 函數(shù)

? fν：密度函數(shù) ? μ：平均值

? λ：形狀/尺度參數(shù)

? ν：自由度

? α：置信水平

R中公式的應(yīng)用實現(xiàn)如下。請注意，在代碼中，VaR 和 ES 被四舍五入到最接近的千位。結(jié)果在表III中。

#?計算模擬值的?VaR?和?ESfitdistr(re,?"t")es?<-?-m+lada*es1*es2

我們的最終任務(wù)是計算非參數(shù) ES 和 VaR，由以下公式給出：

其中：

? S：倉位大小

? q?(α)：樣本收益率的分位數(shù)

? Ri：第 i 個樣本收益率

R 實現(xiàn)如下：

#?計算真實值的?VaR?和?ESret?<-?(rf?%*%?w)?/?100ES?<-?-S?*?sum(ret?*?ir)?/?sum?(iar)

結(jié)果示于表III中。

四、計算結(jié)果

表 I 顯示了 ETF 邊緣 t 分布的估計參數(shù)和 AIC 的結(jié)果：

表 I 邊緣分布

兩個 copula 擬合的 AIC 都在表 II 中。

表 II Copula AIC

VaR 和 ES 在表 III 中。

表三 VaR 和 ES

五、總結(jié)與結(jié)論

這項工作展示了如何估計邊緣和 copula，以及如何應(yīng)用 copula 來創(chuàng)建一個模型，該模型將考慮變量之間的相互依賴性。它還展示了如何計算風(fēng)險價值 (VaR) 和期望損失 (ES)。

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