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今天我們將計(jì)算投資組合收益的CAPM貝塔。這需要擬合一個線性模型，得到可視化，從資產(chǎn)收益的角度考慮我們的結(jié)果的意義。

簡單的背景介紹，資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）是由威廉·夏普（William Sharpe）創(chuàng)建的一個模型，它根據(jù)市場收益和資產(chǎn)與市場收益的線性關(guān)系來估算資產(chǎn)的收益。這種線性關(guān)系就是股票的貝塔系數(shù)。
計(jì)算CAPM的Betas可以作為一個團(tuán)隊(duì)工作中更復(fù)雜的模型的一個很好的模板。
我們將專注于CAPM的一個特定方面：β值。正如我們上面所指出的，貝塔系數(shù)是指一項(xiàng)資產(chǎn)的收益率回歸到市場收益率的結(jié)果。它抓住了資產(chǎn)與市場之間的線性關(guān)系

在計(jì)算該投資組合的貝塔值之前，我們需要找到投資組合的月度收益率。

我們將兩個投資組合收益和一個資產(chǎn)收益一起分析。

CAPM和市場收益

我們的第一步是做出選擇，用哪種資產(chǎn)作為市場收益的代理，我們將選擇SPY ETF，將標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)視為市場收益。

讓我們計(jì)算一下SPY的市場收益。注意開始日期是 "2013-01-01"，結(jié)束日期是 "2017-12-31"，所以我們將使用五年的收益。

?我們還想要一個市場收益率的data.frame對象，并轉(zhuǎn)換xts對象。

?

我們有一個market_returns_tidy對象。我們確保它的周期性與投資組合周期一致

如果周期性不一致，mutate()就會拋出一個錯誤。

計(jì)算CAPM貝塔

計(jì)算投資組合的β值，首先讓我們看看這個方程式。

投資組合β等于投資組合收益和市場收益的協(xié)方差，除以市場收益的方差。

我們可以用cov計(jì)算分子，即投資組合和市場收益的協(xié)方差，用var計(jì)算分母。

我們的投資組合β值等于。

這個β值相當(dāng)接近于1，畢竟SPY是這個投資組合的一個重要部分。

我們也可以通過找到我們每個資產(chǎn)的貝塔值，然后乘以資產(chǎn)權(quán)重來計(jì)算組合貝塔值。也就是說，投資組合貝塔值的另一個方程式是資產(chǎn)貝塔值的加權(quán)和。

?

為了在R中使用這種方法，我們首先要找到我們每個資產(chǎn)的β值。

我們需要將每項(xiàng)資產(chǎn)的收益率回歸到市場收益率上。我們可以用lm()對資產(chǎn)1進(jìn)行回歸，然后再用lm()對資產(chǎn)2進(jìn)行回歸，等等。但如果我們有一個50個資產(chǎn)的投資組合，這將是不現(xiàn)實(shí)的。相反，我們寫一個代碼流程，使用map()來回歸我們所有的資產(chǎn)，并通過一次調(diào)用計(jì)算Betas。

我們將從我們的returns_long整齊的數(shù)據(jù)框架開始。

收益收益

我們現(xiàn)在有三列：之前的資產(chǎn)，之前的數(shù)據(jù)，以及我們剛剛添加的模型。模型一欄是我們對每項(xiàng)資產(chǎn)進(jìn)行回歸的結(jié)果lm(?)。這些結(jié)果是我們每個資產(chǎn)的β值和截距。

讓我們用tidy()函數(shù)整理一下我們的結(jié)果。我們想將該函數(shù)應(yīng)用于我們的模型列，并將再次使用mutate()和map()組合。

我們現(xiàn)在已經(jīng)很接近了，但是模型欄里有嵌套的數(shù)據(jù)框。它們是格式化很好的數(shù)據(jù)框架。

不過，我不喜歡最終出現(xiàn)嵌套的數(shù)據(jù)框架，所以我們調(diào)整模型列。

現(xiàn)在，這看起來比較整潔。我們將做進(jìn)一步的清理，去掉截距，因?yàn)槲覀冃枰愃怠?/p>

快速檢查應(yīng)該發(fā)現(xiàn)SPY與自身的貝塔為1。

現(xiàn)在讓我們看看我們對這些資產(chǎn)的組合如何影響投資組合的β值。

讓我們按照上面的選擇來分配投資組合的權(quán)重。

現(xiàn)在我們可以使用這些權(quán)重來獲得我們的投資組合的β值，基于每個資產(chǎn)的β值。

這個貝塔值與我們上面用協(xié)方差/方差法計(jì)算的是一樣的，現(xiàn)在我們知道投資組合收益和市場收益的協(xié)方差除以市場收益的方差等于我們把每項(xiàng)資產(chǎn)的收益回歸到市場收益上得到的加權(quán)估計(jì)。

xts計(jì)算CAPM的Beta值

使用內(nèi)置CAPM.Beta（）函數(shù)。該函數(shù)需要兩個參數(shù)：我們希望計(jì)算其β值的投資組合（或任何資產(chǎn)）的收益，以及市場收益。

在Tidyverse中計(jì)算CAPM Beta

首先，我們將使用dplyr來抓取我們的投資組合貝塔。我們稍后會進(jìn)行一些可視化，但現(xiàn)在將提取投資組合的β值。

為了計(jì)算貝塔值，我們調(diào)用do(model = lm())。然后我們使用tidy()函數(shù)，使模型結(jié)果更容易看懂。

Tidyquant計(jì)算CAPM的β值

使用tidyquant函數(shù)。能夠?qū)APM.Beta()函數(shù)應(yīng)用于一個數(shù)據(jù)框架。

穩(wěn)定的結(jié)果和接近1的貝塔值是比較理想的，因?yàn)槲覀兊耐顿Y組合有25%分配給標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)。

CAPM Beta的可視化

在可視化之前，我們需要計(jì)算投資組合的收益，然后計(jì)算投資組合涉及到的單個資產(chǎn)的CAPMβ。

可視化投資組合收益、風(fēng)險(xiǎn)和市場收益之間的關(guān)系

CAPM的β值告訴我們投資組合收益與市場收益之間的線性關(guān)系。它還告訴我們投資組合的風(fēng)險(xiǎn)性--投資組合相對于市場的波動程度。在我們討論貝塔系數(shù)本身之前，讓我們先看看我們的資產(chǎn)的預(yù)期月度收益與我們個別資產(chǎn)的月度風(fēng)險(xiǎn)的對比。

我們的投資組合在這個散點(diǎn)圖上的位置如何？讓我們用geom_point()把它添加到ggplot()中。

我們的投資組合收益/風(fēng)險(xiǎn)看起來都不錯，盡管SP500指數(shù)的預(yù)期收益率更高，只是風(fēng)險(xiǎn)更大一些。在過去的五年里，要戰(zhàn)勝市場是很困難的。EEM和EFA有較高的風(fēng)險(xiǎn)和較低的預(yù)期收益，而IJS有較高的風(fēng)險(xiǎn)和較高的預(yù)期收益。

一般來說，散點(diǎn)是為我們的投資組合提供一些收益-風(fēng)險(xiǎn)的背景。它不是CAPM的直接組成部分。

接下來，讓我們更直接地轉(zhuǎn)向CAPM，用X軸上的市場收益和Y軸上的投資組合收益的散點(diǎn)圖來直觀地顯示我們的投資組合與市場之間的關(guān)系。首先，我們將通過調(diào)用mutate()將市場收益添加到我們的投資組合tibble中。然后，我們用ggplot()設(shè)置我們的x軸和y軸。

這個散點(diǎn)圖與β計(jì)算傳達(dá)了相同的強(qiáng)線性關(guān)系。我們可以用geom_smooth()給它添加一個簡單的回歸線。

線性回歸

在結(jié)束CAPM Beta的分析之前，讓我們來探討一下如何創(chuàng)建更有趣的可視化數(shù)據(jù)。

下面的代碼塊從lm()的模型結(jié)果開始，它將我們的投資組合收益率回歸到市場收益率上。我們將結(jié)果存儲在一個名為model的列表列中。接下來，我們調(diào)用augment()，將預(yù)測值添加到原始數(shù)據(jù)集，并返回一個tibble。

這些預(yù)測值將被放在.fitted列中。

讓我們用ggplot()來看看擬合的收益值與實(shí)際收益值的匹配程度。

這些月度收益和擬合值似乎重合得不錯。讓我們把實(shí)際收益和擬合收益都轉(zhuǎn)換為一元的增長，并進(jìn)行同樣的比較。

我們的擬合增長很好地預(yù)測了我們的實(shí)際增長，盡管在大部分時(shí)間里，實(shí)際增長低于預(yù)測值。

參考文獻(xiàn)?

The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence Eugene F. Fama and Kenneth R. French, The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 18, No. 3 (Summer, 2004), pp.?25-46?

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