拓端tecdat|R語言極值推斷：廣義帕累托分布GPD使用極大似然估計(jì)、輪廓似然估計(jì)、Delt
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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)
本文是極端值推斷的內(nèi)容。我們?cè)趶V義帕累托分布上使用最大似然方法。
極大似然估計(jì)
在參數(shù)模型的背景下，標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)是考慮似然的最大值（或?qū)?shù)似然）?？紤]到一些技術(shù)性假設(shè)，如?
?，
的某個(gè)鄰域，那么
其中
表示費(fèi)雪信息矩陣。在此考慮一些樣本，來自廣義帕累托分布，參數(shù)為
?，因此?
如果我們解決極大似然的一階條件，我們得到一個(gè)滿足以下條件的估計(jì)
這種漸進(jìn)正態(tài)性的概念如下：如果樣本的真實(shí)分布是一個(gè)具有參數(shù)
的GPD，那么，如果n足夠大，就會(huì)有一個(gè)聯(lián)合正態(tài)分布
。因此，如果我們產(chǎn)生大量的樣本（足夠大，例如200個(gè)觀測(cè)值），那么估計(jì)的散點(diǎn)圖應(yīng)該與高斯分布的散點(diǎn)圖相同。
> for(s in 1:1000){+ param[s,]=gpd(x,0)$par.ests> image(x,y,z)
得到一個(gè)3D的表示
> persp(x,y,t(z)+ xlab="xi",ylab="sigma")
有了200個(gè)觀測(cè)值，如果真正的基礎(chǔ)分布是GPD，那么，聯(lián)合分布
是正態(tài)的。
?
Delta德爾塔法
另一個(gè)重要的屬性是德爾塔法。這個(gè)想法是，如果是漸進(jìn)正態(tài)，足夠平滑，那么也是漸進(jìn)高斯的。
從這個(gè)屬性中，我們可以得到
（這是極值模型中使用的另一個(gè)參數(shù)化）的正態(tài)性，或者在任何四分位數(shù)
上 。我們運(yùn)行一些模擬，再一次檢查聯(lián)合正態(tài)性。
> for(s in 1:1000)+ gpd(x,0)$par.ests+ q=sha * (.01^(-xih) - 1)/xih+ tvar=q+(sha + xih * q)/(1 - xih)dmnorm(cbind(vx,vy),m,S)> image(x,y,t(z)
正如我們所看到的，在樣本大小為200的情況下，我們不能使用這個(gè)漸進(jìn)式的結(jié)果：看起來我們沒有足夠的數(shù)據(jù)。但是，如果我們?cè)趎=5000運(yùn)行同樣的代碼，
?
> n=5000
我們得到
和
的聯(lián)合正態(tài)性。這就是我們可以從這個(gè)結(jié)果中得到的delta-方法。
?
輪廓似然( Profile Likelihood )
另一個(gè)有趣的方法是Profile?似然函數(shù)的概念。因?yàn)槲膊恐笖?shù)
，
在這里是輔助參數(shù)。
這可以用來推導(dǎo)出置信區(qū)間。在GPD的情況下，對(duì)于每個(gè)
?，我們必須找到一個(gè)最優(yōu)的 。我們計(jì)算Profile?似然函數(shù)，即
?。而我們可以計(jì)算出這個(gè)輪廓似然的最大值。一般來說，這個(gè)兩階段的優(yōu)化與（全局）最大似然是不等價(jià)的，計(jì)算結(jié)果如下
+ ?profilelikelihood=function(beta){+ ?-loglik(XI,beta) }+ ?L[i]=-optim(par=1,fn=profilelik)$value }
如果我們想計(jì)算輪廓似然的最大值（而不是像以前那樣只計(jì)算網(wǎng)格上的輪廓似然的值），我們使用
+ ?profile=function(beta){+ ?-loglikelihood(XI,beta) }(OPT=optimize(f=PL,interval=c(0,3)))
我們得到結(jié)果和最大似然估計(jì)的
相似。我們可以用這種方法來計(jì)算置信區(qū)間，在圖表上將其可視化
> line(h=-up-qchisq(p=.95,df=1)> ?I=which(L>=-up-qchisq(p=.95,df=1))> ?lines(XIV[I]
豎線是參數(shù)
95%置信區(qū)間的下限和上限。
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