【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學(xué)叢書』其實(shí)還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學(xué)基礎(chǔ)自學(xué)內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學(xué)的一條龍數(shù)理化自學(xué)教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因?yàn)?677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計(jì)算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風(fēng)險(xiǎn)極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認(rèn)為6677版不失為一套不錯的自學(xué)教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』上傳成文字版。

第十五章振動和波

【山話||? 本系列專欄中的力單位達(dá)因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳。另外這套老教材中的力的單位常用公斤，如今是不允許的，力是不能使用公斤為單位的】?

§15-5單擺的振動定律

【01】把一個長約為1米的單擺懸掛起來，改變它的偏角、長度或擺球的質(zhì)量來做各種實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)單擺的振動服從下列四條規(guī)律：

1、擺的振動周期與振幅的關(guān)系

【02】使單擺的長度固定，例如100厘米，讓它在一個不大的偏角下離開平衡位置，然后放開手，任它振動。用表測出振動一定次數(shù)（例如50次）所經(jīng)歷的時間，并計(jì)算出每振動1次所需要的時間（即周期）。再使擺在較小的偏角下重新振動，測出它振動同樣次數(shù)所經(jīng)歷的時間，同時也計(jì)算出周期來。這樣，用不同的偏角（即不同的振幅）振動，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，只要保持小的偏角（即小的振幅），無論怎樣改變振幅，周期總是相同的。這就是說，在振幅小的時候，單擺的振動周期與振幅沒有關(guān)系。擺的這種性質(zhì)叫做擺的等時性。

2、擺的振動周期與擺球的質(zhì)量的關(guān)系

【03】把三個大小相同但質(zhì)量不同的擺球，例如鋼球、鉛球和木球分別拴在細(xì)線上，做成長100厘米的三個單擺。然后使它們都作振幅相同的振動，測出它們各振動一定次數(shù)（例如50次）所經(jīng)歷的時間，并且計(jì)算出它們的周期來。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：單擺的振動周期與擺的質(zhì)量沒有關(guān)系。

3、擺的振動周期與擺長的關(guān)系

【04】使幾個質(zhì)量相同但擺長不同的單擺（例如100厘米、75厘米、50厘米）作偏角相同的振動。分別測出振動一定次數(shù)所經(jīng)歷的時間，并且計(jì)算出它們的周期來。然后把各個擺的周期的比（即T?:T?:T?…）與對應(yīng)的各個擺長的平方根的比（即…）作一比較，就可以看出：單擺的振動周期與擺長的平方根成正比，即? 。

4、擺的振動周期與重力加速度的關(guān)系

【05】由精密的量度和理論上的推導(dǎo)，知道單擺的振動周期與重力加速度的平方根成反比，即 ? 。

【06】荷蘭學(xué)者惠更斯研究了單擺的振動現(xiàn)象，得到單擺的振動周期公式為：? ?。式中 T 是單擺的周期，l 是擺長，g 是重力加速度。

【07】在這個公式中，周期 T?和擺長 l 都可以用實(shí)驗(yàn)方法很準(zhǔn)確地測量出來，因此，利用單擺可以測量不同地點(diǎn)的重力加速度。

例2.設(shè)每一晝夜慢6分鐘的時鐘（可以作為單擺處理)，其擺長為99.1厘米。問要使時鐘走得準(zhǔn)確，其擺長應(yīng)縮短多少？

【解】

(1)設(shè)時鐘走得準(zhǔn)確時，一晝夜內(nèi)共走的分?jǐn)?shù)＝t，共振動 n 次；現(xiàn)在這只時鐘一晝夜內(nèi)共走的分?jǐn)?shù)＝t'，共振動 n' 次。則由于振動次數(shù)與分?jǐn)?shù)成正比，所以 t':t＝n':n? 。

(2)在相同時間內(nèi)，振動次數(shù)又與其周期成反比，即 n':n＝T:T'，T 是時鐘走得準(zhǔn)確時的周期，T' 是現(xiàn)在時鐘的周期。把上面兩式結(jié)合起來，得 t':t＝T:T'? 。

(3)根據(jù)單擺的周期公式知?，l 是時鐘走得準(zhǔn)確時的擺長，l' 是現(xiàn)在時鐘的擺長。把(2)中的比例式代入，得??即。

(4)現(xiàn)在 t＝24×60＝1440分，t'＝1440－6＝1434分，l'＝99.1厘米。把這些數(shù)字代入上式，即得。所以應(yīng)該把擺長縮短 99.1－98.4＝0.7厘米。

例3.有一個單擺長1厘米，擺球質(zhì)量是 m 克，擺動時的最大偏角是α，求這個擺所具有的機(jī)械能。又?jǐn)[在通過什么位置時它的動能和勢能相等？設(shè)擺在平衡位置時的勢能等于零。

【解】

(1)如圖15·7所示，機(jī)械能等于在最大偏角 α 時的勢能，因?yàn)檫@時動能等于零，所以

????????勢能＝mgh＝mg(l－lcosα)。

(2)設(shè)在偏角為 α' 時，擺的動能和勢能相等，也就是這時的勢能等于偏角最大時的勢能的一半，所以 mg(l－lcosα')＝1/2 mg(l－lcosα)，

????????即【從三角學(xué)中知道：】，就是當(dāng)擺振動到它的偏角 α' 與最大偏角 α 具有上述關(guān)系的位置上時，擺的動能和勢能相等。

習(xí)題15-5

1、上海的重力加速度是979.4厘米/秒2。問秒擺的長應(yīng)為多少厘米？【約99.23厘米】

2、一晝夜快1分鐘的單擺，擺長應(yīng)該增加到原來的幾倍，才能走得準(zhǔn)確？【約1.0014倍】

3、秒擺的擺長是1米，當(dāng)擺長改變?yōu)?.81米時，振動周期是多少？要使振動周期為4秒，擺長應(yīng)該是多少？【1.8秒，4米】

4、一個單擺，原來的周期等于2秒。問在下列情況下，周期有何變化？(1)擺長縮短為原來的1/4；(2)擺的質(zhì)量減少為原來的1/4；(3)振幅減少為原來的1/4。【(1)1秒，(2)不變，(3)不變】

5、拴在線上的金屬球在豎直平面里擺動，當(dāng)它通過平衡位置時速度是140厘米/秒，求它能上升的高度?！?0厘米】