歐幾里得116、單、位、單位，古希臘的數(shù)學(xué)大廈轟然倒塌

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2017年3月30日，網(wǎng)友發(fā)表名為《如何證明存在一種不能表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)？》的文章。

文章內(nèi)容：

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直到有一天，畢達哥拉斯的學(xué)生Hippasus（通常譯為希帕索斯）說，單位正方形的對角線長度不能表示為兩個整數(shù)之比。

…希帕索斯：見《歐幾里得17》…

…單：甲骨文（圖1-3）的“單”字像帶杈的木棍，在丫杈兩端和分杈處，各捆綁著石頭（一說中間部分是捆綁的繩索），以增加襲擊的力量，用來擊傷野獸，捕獵食物。

這是最原始的狩獵工具，后來變成了戰(zhàn)斗的武器。

也有人認為，甲骨文的“單”字像一把捕鳥的拍子，上邊是網(wǎng)，下邊是手柄，指“捕鳥的工具”。由捕鳥工具演變成狩獵捕獲野獸的工具，由此又變成殺敵的武器。

圖4-6是金文的字形，與甲骨文大致相同，只是有的在中間的石頭下增添一橫，如圖5。小篆（zhuàn）承接了金文的字形，并使之整齊化，上面改為兩個并排的“口”，中間部分統(tǒng)一作“田”字形，并由此發(fā)展為隸書（圖10-12）和楷書。在一些古代書法作品中，偶見將上面寫作兩個“厶（mǒu）”的。簡化字“單”源于草書，將上部寫作兩點。

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初文見于商代甲骨文，其古字形像長柄、兩角縛（fù）有石塊和繩索的古代狩獵工具，此義現(xiàn)不常用。用這種工具捕鳥獸，一般每次只能捕到一只，所以“單”有“一個，單獨”的意思，引申指不復(fù)雜、少變化，由此又引申指只有一層的。

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字義：[dān]

1.不復(fù)雜：～純。簡～?！{(diào)（diào）。

2.獨一：～獨。～一?！~。

3.只，僅：做事～靠熱情不夠。

4.奇（jī）數(shù)的：～日?！?。

5.薄，弱：～薄。

6.衣服被褥只有一層的：～褲?！隆?/p>

7.覆蓋用的布：被～。床～。

8.記載事物用的紙片：～據(jù)。傳～。名～…

…位：《說文解字》：“位，列中庭之左右謂之位。從人、立?！贝笤谝恢鲜橇⒌囊馑?。人、立疊加。列中庭之左右所處是位的意思。

本義：所處的地方。如：座位、部位、位置（ａ．所在或所占的地方；ｂ．地位）、位于。

衍（yǎn）義：引申指“職務(wù)的高低”。如：地位、職位、名位。

衍義：引申指“特指君主的地位”。如：即位、篡（cuàn）位。

衍義：表示“一個數(shù)中每個數(shù)碼所占的位置”。如：個位、百位數(shù)。

衍義：用作量詞，常用于人，表尊重：諸位、各位、幾位客人。

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會意。從人、立。人站在朝廷上。本義：官吏在朝廷上站立的位置。

字義：1.所在或所占的地方：部～。座～。各就各～。

2.職位；地位：名～。

3.特指君主的地位：即～。在～。篡（cuàn）～。

4.一個數(shù)中每個數(shù)碼所占的位置：個～。百～。十～數(shù)。

5.用于人（含敬意）：諸～。各～。家里來了幾～客人…

（…衍、義、衍義：見《歐幾里得25、26》…）

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…單位（百度百科）：指機關(guān)、團體或?qū)儆谝粋€機關(guān)、團體的各個部門；

指數(shù)學(xué)方面或物理方面計量事物的標(biāo)準(zhǔn)量的名稱。一般有：米（m）、千米（km）等單位；

準(zhǔn)確的說，單位就是將一定數(shù)量物質(zhì)的集合規(guī)定為“1”，成為一個單位。

從廣義上講：單位是一個相對概念，其為事物坐標(biāo)系中的坐標(biāo)軸中能構(gòu)成個體的抽象概念。事物的最小單位為零。

詞義：1、機關(guān)、團體、事業(yè)單位、企業(yè)等非自然人的實體或其下屬部門。

2、工薪階層上班的地方，或者說人們獲得自身生存需要、為養(yǎng)家糊口參與社會勞動的特定場所。

3、測量某個物理量時用來進行比較的標(biāo)準(zhǔn)量…

（…集、合、集合：見《歐幾里得31》…

…相、對、相對：見《歐幾里得69》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

…抽、象、抽象：見《歐幾里得20、21》…

…事、物、事物：見《歐幾里得21》…）

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被人們公認的假設(shè)被推翻了，大半命題得證的前提被認定是錯的，古希臘時代的數(shù)學(xué)大廈轟然倒塌，數(shù)學(xué)陷入了歷史上的第一次危機。最后，Eudoxus（一般譯為歐多克斯）的出現(xiàn)奇跡般地解決了這次危機。

…假、設(shè)、假設(shè)：見《歐幾里得78》…

…命、題、命題：見《歐幾里得70》…

…前、提、前提：見《歐幾里得13》…

…歐多克斯：見《歐幾里得102》…

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今天我們要看的是，為什么單位正方形的對角線長度不能表示為兩個整數(shù)之比。

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單位正方形的對角線長度怎么算呢？從上面的這個圖中我們可以看到，如果小正方形的面積是1的話，大正方形的面積就是2。于是單位正方形的對角線是面積為2的正方形的邊長。

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希帕索斯認為不可能存在某個整數(shù)與整數(shù)之比，它的平方等于2。

…比：見《歐幾里得27》…

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中學(xué)課程中安排了一段反證法。當(dāng)時有個題目叫我們證根號2是無理數(shù)，當(dāng)時很多人打死了也想不明白這個怎么可能證得到。這種感覺正如前文所說：直到看了答案后才恍然大悟，數(shù)學(xué)上竟然有這等詭異的證明。

…反證法：見《歐幾里得72~75》…

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當(dāng)然，我們要證明的不是‘根號2是無理數(shù)’。那個時候還沒有根號、無理數(shù)之類的說法。我們只能說，我們要證明不存在一個數(shù)p/q，使得它的平方等于2。

…無、理、無理數(shù)：見《歐幾里得27》…

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證明過程地球人都知道：假設(shè)p/q已經(jīng)不能再約分了，那么p2=2q2（p的平方=2×q的平方），等式右邊是偶數(shù)，于是p必須是偶數(shù)。（奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)。）

…約分：見《歐幾里得107》…

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p是偶數(shù)的話，p2（p的平方）就可以被4整除。約掉等式右邊的一個2，可以看出q2（q的平方）也是偶數(shù)，即q是偶數(shù)。這樣，p也是偶數(shù)，q也是偶數(shù)，那么p和q就還可以繼續(xù)約分，與我們的假設(shè)矛盾。

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“你可以在網(wǎng)上看到，Theodorus對數(shù)學(xué)的貢獻之一就是“證明了3到17的非平方數(shù)的根是無理數(shù)”。這給后人留下了一個疑問：怪了，為什么證到17就不證了呢？

請看下集《歐幾里得117、西奧多羅斯為什么證到17就不證了呢？》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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