牛頓383、拉格朗日中值定理證明里的逆向思維

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拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)是怎么來(lái)的呢？——網(wǎng)友提問(wèn)

…定、理、定理：見(jiàn)《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…

…拉格朗日中值定理：見(jiàn)《牛頓376~382》…

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“需要各位指點(diǎn)一下 謝謝”網(wǎng)友補(bǔ)充說(shuō)。

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…
半個(gè)馮博士（發(fā)布于2020-09-03 01:04，100人贊同了該回答）：

這個(gè)就是典型的逆向思維，別想多了。

逆向思維就是：

Lagrange的目的是為了證明f’（ξ）=[f（b）-f（a）]/（b-a） （1）

…思、維、思維：見(jiàn)《歐幾里得22》…

…目、的、目的：見(jiàn)《歐幾里得195》…

…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個(gè)希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機(jī)變量…

…f’（ξ）：函數(shù)f（ξ）的導(dǎo)函數(shù)…

這個(gè)式子不方便構(gòu)造新函數(shù)去滿足羅爾定理，所以改一下：

…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…

…羅爾定理：見(jiàn)《牛頓367~375》“羅爾中值定理”…

f’（ξ）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0 ??????????????????????（2）

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這下就很明顯了。羅爾定理要找的函數(shù)最終是要得到g’（ξ）=0

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而（2）式左端的函數(shù)剛好就是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見(jiàn)《牛頓288~295》…

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g（x）=f（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·x

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[“函數(shù)g（x）的幾何意義見(jiàn)下圖：”現(xiàn)代學(xué)者說(shuō)。

“f（x）曲線在新坐標(biāo)系y’Ox’的樣子，就是g（x）曲線。”現(xiàn)代學(xué)者說(shuō)，“這在《牛頓381》詳細(xì)介紹過(guò)?！盷

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接下來(lái)驗(yàn)證一下羅爾定理的條件（左右端點(diǎn)函數(shù)值相等）：

g（a）=[bf（a）-af（b）]/（b-a）=g（b）

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并且顯然它可導(dǎo)，于是，根據(jù)羅爾定理，有：

…可導(dǎo)：若f（x）在x0處連續(xù)，則當(dāng)a趨向于0時(shí)，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導(dǎo)…見(jiàn)《牛頓360》…

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g’（ξ）=f’（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0 ????（3）

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那么也就相當(dāng)于證明了（1）式成立。

DrZXY（發(fā)布于08-08 03:14）：幾何上的觀察，容易發(fā)現(xiàn)，該定理就是坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)后的羅爾定理。

由于新舊坐標(biāo)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，則新坐標(biāo)的存在性即可說(shuō)明舊坐標(biāo)的存在性，因此輔助函數(shù)即為新坐標(biāo)中的函數(shù)。

…關(guān)、系、關(guān)系：見(jiàn)《歐幾里得75》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見(jiàn)《歐幾里得10》…

…說(shuō)、明、說(shuō)明：見(jiàn)《歐幾里得149》…

“對(duì)于拉格朗日中值定理的證明，北大教材一個(gè)版本，清華教材一個(gè)版本，同濟(jì)教材又一個(gè)版本。而這個(gè)做法跟那三個(gè)都不一樣。仔細(xì)一看會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)非常搞笑的事。

請(qǐng)看下集《牛頓384、假設(shè)你是拉格朗日，你會(huì)這么干…》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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