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?

1引言

在本教程中，我們將研究如何將Nelson-Siegel-Svensson（NSS）模型擬合到數(shù)據(jù)。由于我們將使用隨機(jī)技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化，因此我們應(yīng)該重新運(yùn)行幾次。變量nRuns設(shè)置示例重啟的次數(shù)。

> set.seed(112233)

2將NS模型擬合到給定的零利率

NS模型

我們使用給定的參數(shù)betaTRUE創(chuàng)建“真實”的收益曲線yM。付款時間（以年為單位）在向量tm中。

1. > tm <- c(c(1, 3, 6, 9)/12, 1:10)

2. 


3. > betaTRUE <- c(6, 3, 8, 1)

4. 


5. > yM <- NS(betaTRUE, tm)

6. 


7. > par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01, mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))

8. 


9. > plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")

目的是通過這些點擬合平滑曲線。我們從目標(biāo)函數(shù)OF開始。它有兩個參數(shù)：param和list數(shù)據(jù)（包含所有其他變量）。返回觀察到的（“市場”）收益率yM的向量與參數(shù)param的模型收益率之間的最大絕對差。

我們添加了一個粗略而有效的約束，以防止導(dǎo)致“ NA”值的參數(shù)值：目標(biāo)函數(shù)返回較大的正值。我們將其最小化，因此產(chǎn)生NA值的參數(shù)被標(biāo)記為不良。在第一個示例中，我們將數(shù)據(jù)設(shè)置如下：

1. > data <- list(yM = yM, tm = tm, model = NS, ww = 0.1, min = c( 0,-15,-30, 0), max = c(15, 30, 30,10))

2. 


3. 


我們添加了一個模型（在本例中為NS），該模型描述了從參數(shù)到收益曲線的映射，以及向量min和max，我們稍后將其用作約束。ww是懲罰權(quán)重，如下所述。

OF將采用候選解決方案參數(shù)，通過data $ model將此解決方案轉(zhuǎn)換為收益，并將這些收益與yM進(jìn)行比較，這意味著要計算最大絕對差。

1. 


2. 


3. > OF(param2, data) ## 得到正值

4. [1] 0.97686

我們還可以根據(jù)收益率曲線比較解決方案。

1. > par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01, mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))

2. 


3. > plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")

4. 


5. > lines(tm, NS(param1, tm), col = "blue")

6. 


7. > lines(tm, NS(param2, tm), col = "red")

8. 


9. > legend(x = "topright", legend = c("true yields", "param1", "param2"), col = c("black", "blue", "red"), pch = c(1, NA, NA), lty = c(0, 1, 1))

我們通常希望獲取參數(shù)，以便滿足某些約束條件。我們通過懲罰函數(shù)將它們包括在內(nèi)。?

我們已經(jīng)有了數(shù)據(jù)，因此讓我們看看該函數(shù)對違反約束的解決方案有何作用。假設(shè)我們有三個解的總體mP。

1. > param1 <- c( 6, 3, 8, -1)

2. 


3. > param2 <- c( 6, 3, 8, 1)

4. 


5. > param3 <- c(-1, 3, 8, 1)

6. 


7. > mP <- cbind(param1,param2,param3)

8. 


9. > rownames(mP) <- c("b1","b2","b3","lambda")

10. 


11. > mP

12. 


13. param1 param2 param3

14. 


15. b1 6 6 -1

16. 


17. b2 3 3 3

18. 


19. b3 8 8 8

20. 


21. lambda -1 1 1

第一個和第三個解決方案違反了約束。在第一個解決方案中，λ為負(fù)。在第三個解中，β1為負(fù)。

1. > penalty(mP,data)

2. 


3. param1 param2 param3

4. 


5. 0.2 0.0 0.2

參數(shù)ww控制了我們的懲罰程度。
?

1. > data$ww <- 0.5

2. > penalty(mP,data)

3. param1 param2 param3

4. 1 0 1

對于有效的解決方案，懲罰應(yīng)為零。

1. 


2. > penalty(mP, data)

3. param1 param2 param3

4. 0 0 0

請注意，懲罰會立即生效；無需遍歷解決方案。
這樣我們就可以進(jìn)行測試了。我們首先定義DE的參數(shù)。請?zhí)貏e注意，我們傳遞了懲罰函數(shù)，并將loopPen設(shè)置為FALSE。

然后使用目標(biāo)函數(shù)OF，列表數(shù)據(jù)和列表算法調(diào)用DEopt。

> sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data)

差異演化。
最佳解的目標(biāo)函數(shù)值為0;
最終人群中OF的標(biāo)準(zhǔn)偏差為3.0455e-16。
為了檢查目標(biāo)函數(shù)是否正常工作，我們將最大誤差與返回的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較–它們應(yīng)該相同。

1. > max( abs(data$model(sol$xbest, tm) - data$model(betaTRUE, tm)) )

2. [1] 0

3. > sol$OFvalue

4. [1] 0?

作為基準(zhǔn)，我們從stats包運(yùn)行函數(shù)nlminb。
如果發(fā)現(xiàn)它的性能優(yōu)于DE，我們將有力地表明我們的DE實現(xiàn)存在問題。
我們使用一個隨機(jī)起始值s0。

1. > s0 <- algo$min + (algo$max - algo$min) * runif(length(algo$min))

2. > sol2 <- nlminb(s0, OF, data = data,

3. lower = data$min,

4. upper = data$max,

5. control = list(eval.max = 50000L,

6. iter.max = 50000L))

同樣，我們比較返回的目標(biāo)函數(shù)值和最大誤差。

1. > max( abs(data$model(sol2$par, tm) - data$model(betaTRUE,tm)) )

2. [1] 1.5787e-07

3. > sol2$objective

4. [1] 1.5787e-07

為了比較我們的兩個解（DE和nlminb），我們可以將它們與真實的收益率曲線一起繪制。但是必須強(qiáng)調(diào)的是，這兩種算法的結(jié)果都是隨機(jī)的：對于DE，因為它故意使用隨機(jī)性；在nlminb的情況下，因為我們隨機(jī)設(shè)置了起始值。為了獲得更有意義的結(jié)果，我們應(yīng)該多次運(yùn)行這兩種算法。為了降低插圖的構(gòu)建時間，我們只運(yùn)行兩種方法一次。
?

1. 


2. > plot(tm, yM, xlab = "maturities in years",

3. ylab = "yields in %")

4. > algo$printDetail <- FALSE

5. > for (i in seq_len(nRuns)) {

6. sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data)

7. lines(tm, data$model(sol$xbest,tm), col = "blue")

8. s0 <- algo$min + (algo$max-algo$min) * runif(length(algo$min))

9. sol2 <- nlminb(s0, OF, data = data,

10. lower = data$min,

11. upper = data$max,

12. control = list(eval.max = 50000L,

13. iter.max = 50000L))

14. lines(tm,data$model(sol2$par,tm), col = "darkgreen", lty = 2)

15. }

16. > legend(x = "topright", legend = c("true yields", "DE", "nlminb"),

17. col = c("black","blue","darkgreen"),

18. pch = c(1, NA, NA), lty = c(0, 1, 2))

毫無疑問，DE似乎通常只有一條曲線：實際上有nRuns 條線，但是它們是相互疊加的。

其他約束

?NS（和NSS）模型的參數(shù)約束是要確保所得的零利率為非負(fù)數(shù)。但實際上，它們不能保證正利率。

1. 


2. > plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")

3. > abline(h = 0)

這確實是一個虛構(gòu)的示例，但盡管如此，我們?nèi)钥赡芟Ｍㄡ槍Υ祟悈?shù)向量的約束措施：我們可以僅包含一個所有速率均大于零的約束條件。
同樣，這可以通過懲罰函數(shù)來完成。

校驗：

1. > penalty2(c(3, -2, -8, 1.5),data)

2. [1] 0.86343

此懲罰函數(shù)僅適用于單個解決方案，因此實際上將其直接寫入目標(biāo)函數(shù)最簡單。

因此，就像一個數(shù)值測試：假設(shè)上述參數(shù)為真，而利率為負(fù)。
?

1. > algo$pen <- NULL; data$yM <- yM; data$tm <- tm

2. > par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01,

3. mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))

4. > plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")

5. > abline(h = 0)

6. > sol <- DEopt(OF = OFa, algo = algo, data = data)

7. > lines(tm,data$model(sol$xbest,tm), col = "blue")

8. > legend(x = "topleft", legend = c("true yields", "DE (constrained)"),

9. col = c("black", "blue"),

10. pch = c(1, NA, NA), lty = c(0, 1, 2))

3將NSS模型擬合到給定的零利率

如果要改用NSS模型，則幾乎不需要更改。我們只需要向目標(biāo)函數(shù)傳遞一個不同的模型。下面是一個示例。同樣，我們修復(fù)了真實參數(shù)并嘗試恢復(fù)它們。

列表數(shù)據(jù)和算法與以前幾乎相同；目標(biāo)函數(shù)保持完全相同。
仍然需要運(yùn)行算法。（同樣，我們檢查返回的目標(biāo)函數(shù)值。）

1. > sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data)

2. > max( abs(data$model(sol$xbest, tm) - data$model(betaTRUE, tm)) )

3. [1] 7.9936e-15

4. > sol$OFvalue

5. [1] 7.9936e-15

我們將結(jié)果與nlminb進(jìn)行比較。
最后，我們比較了幾次運(yùn)行所得的收益率曲線。

1. > par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01,

2. mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))

3. > plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")

4. > for (i in seq_len(nRuns)) {

5. sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data)

6. lines(tm, data$model(sol$xbest,tm), col = "blue")

7. s0 <- algo$min + (algo$max - algo$min) * runif(length(algo$min))

8. sol2 <- nlminb(s0, OF, data = data,

9. lower = data$min,

10. upper = data$max,

11. control = list(eval.max = 50000L,

12. iter.max = 50000L))

13. lines(tm, data$model(sol2$par,tm), col = "darkgreen", lty = 2)

14. }

15. > legend(x = "topright", legend = c("true yields", "DE", "nlminb"),

16. col = c("black","blue","darkgreen"),

17. pch = c(1,NA,NA), lty = c(0,1,2), bg = "white")

?

參考文獻(xiàn)

關(guān)于數(shù)值優(yōu)化中“良好起始值”的注釋，2010年。http://comisef.eu/?q = working_papers

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