最近我在很多地方都看到了上面這張圖，于是想拿出來分(蹭)享(個)一(熱)下(度)，分享之前先擺上油管UP主3Blue1Brown的2個視頻，其在16號以視頻形式在油管上提出了這個問題并在20號公布了答案。其實(shí)早在1995年，美國東伊利諾大學(xué)的數(shù)學(xué)家Gregory Galperin就已經(jīng)提出了這個問題，并在2003年為此寫了一篇論文(上面的視頻末尾提到了這個論文里提到的兩面反光鏡反射光線的內(nèi)容)。后來在2014年，斯坦福大學(xué)的Gary Antonick提出的另一種比較直觀的偏向于幾何的證明方法，同時(shí)這也是上面視頻里講到的證明思路，這里呢就簡單的引用一下2016年由“安安以遷遷”翻譯的關(guān)于這兩篇論文的內(nèi)容，來簡單說明一下。

想象地面上有一堵墻，墻的右邊某處有一物體A，它的右邊某處又有一物體B。假設(shè)地面無限長無限光滑，AB兩物體都可視為質(zhì)點(diǎn)，AB之間，以及它們和墻之間都作完全彈性碰撞。

先假設(shè)A和B的質(zhì)量相同，A和B一開始都靜止。我們朝左推一下B，讓它有個初始速度。B運(yùn)動一段時(shí)間后撞到A（第一次），由于動能守恒和動量守恒的緣故，B完全停止，而A以原先B的速度向左運(yùn)動。A撞到墻（第二次）后以原速率向右彈回，運(yùn)動后又撞到B（第三次）。接下去A完全停止，B向右一直運(yùn)動。我們看到這樣一共會發(fā)生3次碰撞。

為什么是3次？如果說這是因?yàn)閳A周率π的第一個數(shù)字是3，你會不會覺得這種關(guān)聯(lián)太牽強(qiáng)？讓我們繼續(xù)看。

保持其他假設(shè)不變，只是現(xiàn)在B的質(zhì)量是A的100倍。最初B運(yùn)動一段時(shí)間后撞到A，這時(shí)因?yàn)锽的質(zhì)量大于A，B并不會完全停止，而是會繼續(xù)向左以比原先稍慢的速率運(yùn)動，而A則會以比B更快的速率向左運(yùn)動，直到撞上墻向右彈回，然后又撞上B向左彈回。這時(shí)B向左運(yùn)動的速率又慢了一點(diǎn)，而A的速率則變得更快。這樣A在B和墻之間反復(fù)碰撞，直至把B推動至向右運(yùn)動。然后A仍在B和墻之間碰撞，B向右的速率將逐次加快，而A的速率則會逐次減慢，直至最終A趕不上B而不再發(fā)生碰撞為止。在下圖的模擬中我們看到，這樣一共會發(fā)生31次碰撞。

為什么是31次？如果說這是因?yàn)閳A周率π去掉小數(shù)點(diǎn)后的前兩個數(shù)字是3和1，你會不會覺得這純屬巧合？讓我們繼續(xù)看。

仍保持其他假設(shè)不變，只是現(xiàn)在B的質(zhì)量是A的10000倍。下圖模擬中的碰撞已變得看不清，但是通過計(jì)算，我們知道，一共會發(fā)生314次碰撞。

而假設(shè)B的質(zhì)量是A的1000000倍，則會發(fā)生3141次碰撞；假設(shè)B的質(zhì)量是A的100000000倍，則會發(fā)生31415次碰撞……總而言之，如果B的質(zhì)量是A的102?倍，那么會發(fā)生的碰撞次數(shù)就是把圓周率π的小數(shù)點(diǎn)拿掉后前面n+1位數(shù)表示的數(shù)字。只要兩個物體一堵墻，推上一下，我們就能計(jì)算圓周率π。這顯然不能再用巧合來解釋了。

當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)情況下想用這種辦法稍微精確地計(jì)算一下π也是不可能的。首先，“無限光滑”“完全彈性碰撞”的條件太理想化。而A和B的質(zhì)量不可能相差太大：比如n=50時(shí)，B和A的質(zhì)量比要達(dá)到101oo，即便A的質(zhì)量小如電子，B的質(zhì)量也將超過目前可觀察宇宙的總質(zhì)量。就不要說在極其微小和巨大質(zhì)量的條件下，必須考慮諸如分子熱運(yùn)動，萬有引力，量子效應(yīng)，相對論效應(yīng)等等物理學(xué)家們俯拾皆是的抬杠理由。我們這里談?wù)摰呐c其說是一個物理問題，毋寧說是一個數(shù)學(xué)問題，也就是僅考慮經(jīng)典的牛頓三大運(yùn)動定律圖景下的數(shù)學(xué)結(jié)論。

1995年美國東伊利諾大學(xué)的數(shù)學(xué)家Gregory Galperin在做一次關(guān)于小球碰撞的數(shù)學(xué)報(bào)告前發(fā)現(xiàn)了上面這個有趣的結(jié)論。當(dāng)他在報(bào)告中公布這個發(fā)現(xiàn)時(shí)，開始聽眾們都覺得難以置信。但在給出證明后，聽眾們又紛紛表示信服。后來Galperin在2003年為此寫了一篇論文。后面我要介紹的，則是由斯坦福大學(xué)的Gary Antonick提出的另一種偏向于幾何的證明方法，比較直觀。

先來看物理部分。

假設(shè)物體A質(zhì)量為m，物體B質(zhì)量為M，令k為M/m的（正）平方根，也即k2=M/m。為了一般性起見，我們不要求k是10的冪，甚至不要求k是整數(shù)，只要求k≥1，也即A的質(zhì)量不大于B。在整個過程中，物體A的速度v(t)和物體B的速度V(t)都是時(shí)間t的函數(shù)，我們令向左的速度為正速度，這樣向右的速度就被表示為負(fù)的。假設(shè)物體B初始的（向左的）速度為W。整個過程中動能守恒，于是在任意時(shí)刻t我們都有

1/2MV(t)2+1/2mv(t)2 = 1/2MW2

也即

(V(t)/W)2+(v(t)/(kW))2 = 1

這意味著在任何時(shí)刻t，點(diǎn)(V(t), v(t))都處于一個固定的橢圓上。如果我們作一個拉伸變換，定義新的關(guān)于t的函數(shù)x(t)=V(t)/W，y(t)=v(t)/(kW)，上面的公式就變成了

x(t)2+y(t)2 = 1

也就是說不同時(shí)刻t所對應(yīng)的p(t)=(x(t), y(t))都處在以原點(diǎn)為中心，以1為半徑的圓上。

我們注意到，當(dāng)在某段時(shí)間t?到t?之間沒有發(fā)生過碰撞，那么這段時(shí)間里的v(t)和V(t)都是不變的，于是這段時(shí)間里點(diǎn)p(t)也是不變的。在整個過程中只會發(fā)生有限次碰撞，所以p(t)在坐標(biāo)系中的圖像將只有有限個點(diǎn)。下面我們將考察在某次碰撞前后，點(diǎn)p(t)會怎樣變化。

如果是物體A和墻的碰撞，那么在碰撞前A向左運(yùn)動，碰撞后則向右運(yùn)動，而速度大小相同；物體B則保持原來的運(yùn)動狀態(tài)。這意味著在碰撞前p(t)處于x軸上方，碰撞后則處于x軸下方，和原來的點(diǎn)以x軸對稱。

如果是物體A和B的碰撞，那么在碰撞前A必定靜止或是在向右運(yùn)動，不存在A和B都向左運(yùn)動且B的速度大于A而與A相撞的可能（證明略，只指出一點(diǎn)：如果A正在向左運(yùn)動，表明前一次碰撞發(fā)生在A和B之間），這意味著在碰撞前p(t)處于x軸上或是在它的下方。碰撞前后動量守恒，即

MV(t)+mv(t) = C

其中C在碰撞前后是個常數(shù)。如果將上式兩邊都除以MW/k，我們得到

kV(t)/W+v(t)/(kW) = kC/(MW)

也即碰撞前后

kx(t)+y(t) = kC/(MW)

上式等式的右邊還是一個常數(shù)。這意味著碰撞前后的p(t)在同一條斜率為-k的直線上。綜合上述結(jié)論，碰撞前后的p(t)的圖像變化應(yīng)該如下圖所示，其中虛線的斜率為-k。

于是我們就得到了整個過程中p(t)變換模式：從點(diǎn)(1, 0)開始（對應(yīng)著B剛開始以速度W向左運(yùn)動，還未撞上A時(shí)的狀態(tài)），交替地以斜率為-k的直線和以平行于y軸的直線成之字形在圓周上截出的點(diǎn)。下圖是k=3時(shí)的情形。每一條藍(lán)色虛線段代表一次碰撞，箭頭方向則代表了此次碰撞前后系統(tǒng)狀態(tài)（即點(diǎn)p(t)）轉(zhuǎn)換的方向。

于是碰撞次數(shù)就是藍(lán)色虛線段的數(shù)量，或者說是圓周上的p(t)圖像的點(diǎn)數(shù)減1。這樣，一個物理問題被轉(zhuǎn)化為一個幾何問題：從點(diǎn)(1, 0)開始，按照上述方法，交替地以斜率為-k的直線和以平行于y軸的直線成之字形在圓周上截出的點(diǎn)會有幾個？而這個問題，即便從直覺上也可以感到它會和圓周率π很有關(guān)系。

順便要指出的是，我們發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)換后的問題僅和k的值有關(guān)，或者說僅和物體B和物體A的質(zhì)量比有關(guān)，而和物體A和物體B的具體質(zhì)量、初始的推動速度W或是物體A和墻的距離等值無關(guān)。

在上節(jié)中我們把原來的物理問題轉(zhuǎn)化成了一個幾何問題：從點(diǎn)(1, 0)開始，交替地以斜率為-k的直線和以平行于y軸的直線成之字形在半徑為1的圓周上截出的點(diǎn)會有幾個？本節(jié)則將用幾何的方法來解決此問題。

首先我們要解決的問題是，按照上述交替截圓周的方式，最后會以什么樣的方式結(jié)束？也就是說，最后一個點(diǎn)的位置會是什么樣的？答案是，這個點(diǎn)是最后一點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)它落在下面這條紅色的弧上，包括兩個端點(diǎn)。其中紅色虛線的斜率為1/k；藍(lán)線為圓周在Q點(diǎn)的切線，所以它垂直于紅色虛線，斜率為-k。因?yàn)閳A半徑為1，紅弧的長度等于它所對應(yīng)的圓心角大小，為arctg(1/k)。

這一點(diǎn)可以從物理和幾何兩方面來論證。

從物理圖景來解釋的話，不再發(fā)生碰撞的充要條件是物體A和物體B均處于靜止或向右運(yùn)動的狀態(tài)，而且A的速率小于等于B的速率，即V(t)≤0，v(t)≤0且V(t)≤v(t)。翻譯成函數(shù)x(t)和y(t)的語言，就是x(t) ≤ ky(t) ≤ 0，對應(yīng)到圓周上，就是上圖里的紅弧。

從幾何上說，如果圓周上的一個點(diǎn)p處于x軸下方或等于點(diǎn)(1, 0)，而且它不在上面那條紅弧上，那么通過它的斜率為-k的直線必定處于上圖藍(lán)色切線的右上方，會在圓周上截出一個處于p的左上方的點(diǎn)p'來。換句話說，p必定不會是之字形截點(diǎn)過程的終結(jié)點(diǎn)。更進(jìn)一步，如果上面這個新點(diǎn)p'不在紅弧上（此時(shí)它會是截點(diǎn)過程的終結(jié)點(diǎn)），那么它必處于x軸的上方。同樣，如果圓周上的一個點(diǎn)p在x軸上方，那么通過它的和y軸平行的直線必定可以在圓周上截出一個在x軸下方的點(diǎn)來，p也不會是之字形截點(diǎn)過程的終結(jié)點(diǎn)。

通過歸納法，從(1,0)出發(fā)的之字形截點(diǎn)過程必然可以一直持續(xù)下去，直到到達(dá)上圖紅弧上的一點(diǎn)。而一旦到達(dá)紅弧，就既不可能用斜率為-k的直線向左上方截點(diǎn)，也不可能用和y軸平行的直線向下截點(diǎn)：它必然是終結(jié)點(diǎn)。

我們看到物理和幾何的方法都得到了同樣的結(jié)論：之字形截點(diǎn)過程終結(jié)，當(dāng)且僅當(dāng)截點(diǎn)出現(xiàn)在上述的紅弧上。

而截出終結(jié)點(diǎn)的方式有兩種，下面我們分別討論。

第一種方式是終結(jié)點(diǎn)被斜率為-k的直線所截出。在物理上對應(yīng)的過程是倒數(shù)第二次物體A和墻相撞向右彈回，并追上正向右運(yùn)動的物體B，進(jìn)行了最后一次撞擊；撞擊后物體A和B仍朝右運(yùn)動，只是A的速率小于等于B。第一節(jié)中質(zhì)量比為100的動畫中的撞擊過程就是這樣結(jié)束的。在k=3時(shí)終結(jié)點(diǎn)也是這樣被截出，下面我們以此為例說明。

在圖像中我們將每個點(diǎn)標(biāo)了號，并通過初始點(diǎn)1作了切線。這樣除了最后一點(diǎn)10外，每一點(diǎn)都對應(yīng)著以它為頂點(diǎn)，由兩條藍(lán)色射線形成的角。因?yàn)樗行甭蕿?k的直線都平行，所有平行于y軸的直線都平行，于是角1到角9依次兩兩都是平行直線的內(nèi)錯角，它們均相等，其正切是1/k，故等于arctg(1/k)。它們是圓周角（角1是弦切角，可以看作是圓周角的特殊情況）。從中學(xué)平面幾何里我們知道，它們對應(yīng)的圓弧長度均相等；因?yàn)閳A半徑為1，它們所對應(yīng)的弧長是兩倍的圓周角大小，即2arctg(1/k)。在k=3時(shí)，弧1-2、弧1-3、弧2-4、弧3-5、弧4-6、弧5-7、弧6-8、弧7-9，弧8-10的長度均是2arctg(1/3)；而弧9-10的長度小于此值。出現(xiàn)最后這段弧長會等于前面的弧長的情況僅當(dāng)終結(jié)點(diǎn)正好是點(diǎn)(-1, 0)，這是k=1也就是物體A和物體B質(zhì)量相等的情況。

第二種方式是終結(jié)點(diǎn)被平行于y軸的直線所截出。在物理上對應(yīng)的過程是倒數(shù)第二次物體A與物體B相撞后向左運(yùn)動，最后撞在墻上向右彈回，但此時(shí)它的速率已小于B的速率，再也追不上B。這是第一節(jié)中質(zhì)量比為10000的動畫中的撞擊過程結(jié)束的方式，同樣也是k=4時(shí)的情況。下面我們以k=4為例說明。

和k=3的情況很相似，圓上的截點(diǎn)把圓周截成了若干段長度為2arctg(1/k)的弧，以及最后一段弧12-13。最后這段弧的長度總是小于等于兩倍的紅?。ㄒ?yàn)樽詈笠稽c(diǎn)須在紅弧內(nèi)），也就是2arctg(1/k)。

綜合上述兩種方式，我們就得到結(jié)論：之字形在半徑為1的圓周上截出的點(diǎn)的個數(shù)，正是圓周的長度除以2arctg(1/k)的結(jié)果的整數(shù)部分再加1，這個1對應(yīng)著那段比較短的弧。（嚴(yán)格地說，如果圓周的長度除以2arctg(1/k)的結(jié)果恰好是整數(shù)，如當(dāng)k=1時(shí)，那么就不用加這個1了，這一點(diǎn)將在后面補(bǔ)充說明）?；蛘哒f，碰撞的次數(shù)（它等于點(diǎn)的個數(shù)減1）就是圓周的長度除以2arctg(1/k)的結(jié)果的整數(shù)部分。但半徑為1的圓周的長度正是2π。這一下，碰撞次數(shù)和圓周率的關(guān)系可謂昭然若揭，剩下的只不過是一點(diǎn)計(jì)算細(xì)節(jié)罷了。

碰撞的次數(shù)為圓周長2π除以2arctan(1/k)的整數(shù)部分，也就是[π/arctan(1/k)]，其中[]代表取整運(yùn)算。當(dāng)k大于等于1時(shí)，arctan(1/k)總比1/k大一點(diǎn)，但差不了多少；更精確地，π/arctan(1/k)和π/(1/k)=kπ差不多大小，k越大，這個差就越小。這一點(diǎn)可對f(x)=π/arctan(x)-π/x在零點(diǎn)附近作泰勒展開并作估計(jì)即可，這要用到數(shù)學(xué)分析知識，這里就不具體進(jìn)行了。于是[π/arctan(1/k)]和[π/(1/k)]=[kπ]一般來說是相等的。

總的來說，在理論上[π/arctan(1/k)]和[kπ]有極小的可能差1。一種可能是上述的圓周的長度除以2arctg(1/k)的結(jié)果恰好是整數(shù)的情況，那么很好，因?yàn)閍rctan(1/k)總比1/k大一點(diǎn)，于是[kπ]等于[π/arctan(1/k)]-1，正是圓周上的點(diǎn)個數(shù)減1。

另一種可能則相當(dāng)麻煩。如果π/arctan(1/k)和kπ恰好在某個整數(shù)的兩側(cè)，就如2.00001和1.99999在2的兩側(cè)那樣，相差極少，取整結(jié)果卻差1。為了對這個細(xì)節(jié)做精確估計(jì)，Galperin差不多用了論文的三分之一篇幅來作相當(dāng)繁瑣的討論，也沒有完全排除這種可能性。但對于我們來說，即便[π/arctan(1/k)]和[kπ]真的差1也不是太有所謂，因?yàn)檫@無非是在說，碰撞的次數(shù)和π的前幾位數(shù)幾乎一樣，最多差1。這并不影響結(jié)果的漂亮，也不影響我們對為何初始的碰撞問題會和圓周率有出人意料卻在數(shù)理之中的聯(lián)系的理解。所以我們接下來就當(dāng)這種可能性不存在。

這樣我們就知道，總的碰撞次數(shù)是[kπ]。于是最終結(jié)論就顯而易見了，在k=10時(shí)碰撞次數(shù)是[10π]，k=100時(shí)碰撞次數(shù)是[100π]，等等等等，就是圓周率π的前幾個數(shù)字。可以看出，如果不用十進(jìn)制而是用其他進(jìn)制，也會有類似的結(jié)果。比如說在二進(jìn)制下，圓周率π約等于11.0010010000111111……，如果我們?nèi)=2?=32，也就是質(zhì)量比為21o=1024時(shí)，模擬結(jié)果表明會發(fā)生100次碰撞：

而100在二進(jìn)制下的表示為1100100，恰是π的二進(jìn)制表示的前7個數(shù)字。

參考文獻(xiàn)：
[1] Gary Antonick, The Pi Machine, Numberplay, Wordplay Blog, http://wordplay.blogs.nytimes.com/2014/03/10/pi/
[2] Gregory Galperin, Playing pool with π (the number π from a billiard point of view), Regular and Chaotic Dynamics, Volume 8, Number 4, Pages 375–394 (2003).
[3]?安安以遷遷, 碰撞出來的圓周率,?簡書,?https://www.jianshu.com/p/3dea48c0fc64,?https://www.jianshu.com/p/b9d3d4918ca7,?https://www.jianshu.com/p/bb5eb822db78