有一個(gè)自下而上的學(xué)習(xí)方法。偏向于用計(jì)算學(xué)代數(shù)幾何?？碐TM52跟范疇論都是自上而下。

首先要學(xué)代數(shù)曲線，學(xué)會(huì)奇異點(diǎn)解消以及它和交換代數(shù)的仿射簇的坐標(biāo)環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系。認(rèn)識(shí)交換代數(shù)能夠代數(shù)層面打擊奇異點(diǎn)解消。

其次學(xué)代數(shù)數(shù)論。 重點(diǎn)學(xué)習(xí)整基的概念，為諾特正規(guī)化引理 ，和交換代數(shù)里面的各種整有關(guān)的東西提供基礎(chǔ)。素理想和各種歐幾里得環(huán)，唯一分解環(huán)，主理想整環(huán)都得到具體的印象。

接著學(xué)習(xí)橢圓曲線。作為虧格1的代數(shù)曲線，它的群法則和倍乘映射都可以具體計(jì)算，以后學(xué)習(xí)抽象的除子概念時(shí)會(huì)有幾何印象作為支撐。

再次學(xué)習(xí)黎曼面。重點(diǎn)是黎曼羅赫定理。順便學(xué)習(xí)一點(diǎn)組合交換代數(shù)，某個(gè)GTM。學(xué)會(huì)希爾伯特概型，從點(diǎn)概型入門的獲取直觀印象。

然后可以學(xué)習(xí)代數(shù)曲面了。由緊復(fù)曲面之類的教材。通?？雌饋砀碐TM52一樣。會(huì)有外國人故意把知識(shí)保留起來不傳給中國人的感覺。還有導(dǎo)師怎么明明不懂要裝懂的感覺。這些都是正常的。如果周圍的學(xué)的好的人總是不舍得指導(dǎo)你，也不要奇怪。這些都是代數(shù)幾何這門學(xué)問上見識(shí)的皮毛現(xiàn)象。學(xué)到最后會(huì)有數(shù)學(xué)界原來這么亂，原來科學(xué)不是追求清晰，而是利用市場來搞價(jià)值存在主義，這些都是正常的。

千萬不要深究太詳細(xì)的代數(shù)曲面的分類。但是可以學(xué)習(xí)小平邦彥的復(fù)曲面的簡單分類。

接著本來要學(xué)習(xí)代數(shù)曲面的纖維化，可惜這門學(xué)科在華東師大和日本大阪大學(xué)的幾個(gè)老師手中，就連哈佛的老師也要寫信向他們請教細(xì)節(jié)計(jì)算。所以這個(gè)時(shí)候你沒辦法，只能去學(xué)習(xí)GTM52了。也不要緊，因?yàn)樗麄兊膲艛?，?dǎo)致現(xiàn)在的代數(shù)幾何另起爐灶，不理他們了。反而去發(fā)展更加高大上的，要廣泛使用同調(diào)和層論語言的東西去了。最后他們被邊緣化了。漸漸的也認(rèn)識(shí)到了纖維化沒有前途。然后對外也開始宣傳要從GTM52開始學(xué)起。

接下來要學(xué)習(xí)代數(shù)曲面的奇異點(diǎn)的解消。問題來了。這個(gè)在miles reid那里有詳細(xì)的東西。和日本山形大學(xué)東大等一些老師手上有一些正規(guī)奇異點(diǎn)的解消方法。還有kollar也有一些。但是竟然許晨陽也被人說過不懂這方面的細(xì)節(jié)。

接下來是高維簇的代數(shù)幾何，就是復(fù)旦陳猛等一些人搞得3-fold，n-fold。一般會(huì)搞一些代數(shù)曲面推廣過來的結(jié)論隔靴搔癢。

因?yàn)榇蠹叶疾辉敿?xì)。所以你會(huì)發(fā)現(xiàn)沒有人膽敢正面回應(yīng)你的隨便解消一個(gè)甚至是ADE奇異點(diǎn)的疑問。只會(huì)罵你整天搞一些沒價(jià)值的。以至于美國頂尖大學(xué)會(huì)有規(guī)定，名教授必須對甚至是學(xué)生提出的最基礎(chǔ)的問題給出回應(yīng)的規(guī)定。

學(xué)了上述所有，即學(xué)過了高維簇才是概型。但是，會(huì)有一群神仙在你一開始學(xué)代數(shù)幾何時(shí)就告訴你。你應(yīng)該從GTM52開始學(xué)習(xí)代數(shù)幾何，那里面有概型的語言。不再依賴計(jì)算，用同調(diào)的推理來證明結(jié)論，避免細(xì)節(jié)。

然而，奇葩的是，他們學(xué)完了GTM52以其后續(xù)，寫論文的時(shí)候無一例外，基本上都是寫的低于這個(gè)語言的論文。所以給人一種學(xué)完了GTM52，以后不再為抽象語言煩惱的錯(cuò)覺。

很多人研究特殊的高維簇，就像研究三角形的人研究正三角形一樣，所以他們會(huì)搞toric簇。

還有很多人研究特殊的代數(shù)曲面--橢圓曲面，其中的雅可比映射，走向了橢圓函數(shù)的推廣版超幾何級數(shù)，走向了鏡像對稱。

還有人卷不動(dòng)抽象的了，覺得相交數(shù)理論具體一點(diǎn)。研究舒伯特鏈。

后續(xù)可能存在50個(gè)不同的研究分支方向。大多數(shù)用不上概型的語言。大多數(shù)都可以出點(diǎn)成果。大多數(shù)最后也沒有搞懂GTM52.這不影響成為教授的人家。

還有人像我一樣，卷都沒卷就跑了，走向了黎曼面的具體的研究。就是共形幾何，邱成桐在這個(gè)方面指明了一些方向。利用三角網(wǎng)格建模做特征識(shí)別的算法工作，在公司。