老碧在上周的微信公眾號(hào)中，在聊到數(shù)學(xué)作為一門語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性時(shí)，談?wù)摿藬?shù)學(xué)語(yǔ)言的三種嚴(yán)謹(jǐn)性：

1. 數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性；

2. 數(shù)學(xué)過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性；

3. 數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性。

在聊到“數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性”的時(shí)候，為了解釋清楚為什么“舉例子”明明是一種應(yīng)用廣泛的證明方法，卻在數(shù)學(xué)中沒(méi)有說(shuō)服力，這涉及到學(xué)科的分類：

“學(xué)科的分類方式有很多，比如，劃分為，文科，理科，工科；或者，劃分為，自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)，思維科學(xué)，等等。

這些分類的范疇在業(yè)內(nèi)是存在爭(zhēng)議的。不過(guò)，我們可以按照一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)，把它們大致分為三類：

第一類，以探索多樣性為目的的學(xué)科，如大多數(shù)的人文藝術(shù)類學(xué)科；

（以翻譯學(xué)為例，就分了若干個(gè)大的學(xué)派，學(xué)派之間爭(zhēng)論不休，但也各自發(fā)展蓬勃。）

第二類，以探索真理為目的的學(xué)科，如大多數(shù)自然邏輯類學(xué)科，講究?jī)?nèi)部邏輯嚴(yán)絲合縫，一個(gè)反例就可以推翻前人堅(jiān)信了幾千年的真理；

（某些倒霉鬼也因?yàn)楹硠?dòng)了學(xué)科基石而一度淪為炮灰：比如大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的某個(gè)徒弟因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了根號(hào)二不是分?jǐn)?shù)于是被沉海了——不用懷疑，這哥們提出這個(gè)問(wèn)題和布魯諾堅(jiān)持地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)的行為一樣“惡劣”！沒(méi)錯(cuò)，在古代西方，數(shù)學(xué)被稱為“上帝的語(yǔ)言”。有沒(méi)有感到，被知識(shí)支配的恐慌？）

第三類，以探索實(shí)用性為目的的學(xué)科，如大多數(shù)工程應(yīng)用類學(xué)科，講究怎樣理論聯(lián)系實(shí)際，把書(shū)上發(fā)展起來(lái)的理論，與現(xiàn)實(shí)存在的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。

（工程師座右銘：“我才不管一共有多少種可能性，或者這個(gè)方案，在理論上有多少問(wèn)題沒(méi)解答呢，我用起來(lái)方便就好了。”）

所以非常微妙的一個(gè)現(xiàn)象是，工程應(yīng)用類學(xué)科和自然邏輯類學(xué)科看似相互依賴，現(xiàn)實(shí)中卻呈現(xiàn)相互獨(dú)立發(fā)展的趨勢(shì)：前者的許多問(wèn)題對(duì)于后者來(lái)說(shuō)，過(guò)于復(fù)雜而難于解答；而后者對(duì)于前者來(lái)說(shuō)，有太多的東西在現(xiàn)實(shí)中根本用不上。

（如果科學(xué)家和工程師見(jiàn)面打起架來(lái)，老碧是絲毫不會(huì)覺(jué)得奇怪的。）

顯而易見(jiàn)，數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等等的理論部分都可以歸為第二類。

所以，它們共有的一些特點(diǎn)導(dǎo)致了——舉例說(shuō)明的方法在這些學(xué)科內(nèi)是不具有任何說(shuō)服力的?！?/p>

這些特點(diǎn)老碧之后做了介紹：

“而對(duì)于第二類學(xué)科，有幾條被普遍接受的要求：

1. 邏輯自洽性——即內(nèi)部邏輯可以自圓其說(shuō)，每一項(xiàng)論斷和推理都能從公理（即該學(xué)科的”邏輯起點(diǎn)“）上找到解釋，比如，”1+1=2“的依據(jù)是”皮亞諾公理“；

2. 可發(fā)展性——由已知的所有定義和公理定理，可以推導(dǎo)出新的結(jié)論，并且不會(huì)與之前的所有理論發(fā)生矛盾，比如，由加法結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c），分配律(a+b)c=ac+bc，差的定義a-b=a+（-b），0的性質(zhì)0=bc+(-bc)，bc+0=bc，能推出減法分配律（a-b）c=[a+（-b）]c=ac+（-b）c+0=ac+（-b）c+[bc+(-bc）]=ac+[（-b）c+bc]+（-bc）=ac+（-bc）=ac-bc，細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，運(yùn)算的每一步都是以我們提到的規(guī)則作為依據(jù)的；

3. 可證偽性——因?yàn)檫@種學(xué)科的目的是為了探索真理，那么就做出了一點(diǎn)預(yù)設(shè)，真理必然是存在且唯一的，所以，即使之前千萬(wàn)個(gè)例子沒(méi)出過(guò)問(wèn)題，一個(gè)反例的出現(xiàn)足以證偽，就好比，曾幾何時(shí)認(rèn)為分?jǐn)?shù)可以度量這個(gè)世界的畢得格拉斯學(xué)派，因?yàn)楦?hào)二的發(fā)現(xiàn)，陷入了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，于是數(shù)學(xué)界最終不得不承認(rèn)，存在有理數(shù)以外的“新數(shù)“存在，而這個(gè)”新數(shù)“嚴(yán)格的定義，第一次出現(xiàn)，已經(jīng)是兩千多年以后了?！?br/>

我們?cè)凇痉坪战鸶鐮柎奈⒎e分學(xué)教程精讀筆記Ep1】中介紹了有理數(shù)的“邏輯起點(diǎn)”即“序公理”（關(guān)于數(shù)的順序或者說(shuō)“大小”）：

“域公理”（關(guān)于加法和乘法兩個(gè)運(yùn)算）：

以及“阿基米德公理”：

我們?cè)凇痉坪战鸶鐮柎奈⒎e分學(xué)教程精讀筆記Ep2】中引入了“戴德金分割”中，有理數(shù)分劃的概念，從分劃的三種分類中，得到了無(wú)理數(shù)的一種定義：

在前兩種類型中，分界的數(shù)是一個(gè)有理數(shù)，所以任意一個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)兩種分劃，要么它是上組的最小數(shù)，要么它是下組的最大數(shù)。

注：這一點(diǎn)可以這么理解：

1. “有理數(shù)分劃”可以看作一種有理數(shù)的分類；

2. 在這種分類中，有理數(shù)被分為了兩組；

3. 那么這兩組合在一起應(yīng)該要覆蓋所有的有理數(shù)。

所以，既然拿有理數(shù)當(dāng)作”分界線“，它必然屬于其中一組。又因?yàn)橄陆M中的所有數(shù)都小于上組中的任意一個(gè)數(shù)，所以，上組和下組必然沒(méi)有公共元素。那么這個(gè)作為”分界線“的數(shù)，只能是上組或下組的。

老碧也曾在公眾號(hào)文章中指出：數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性，源于其“去歧義性”，數(shù)學(xué)會(huì)特意把日常語(yǔ)言中容易造成歧義的詞匯約定唯一確定的含義。

例如，在日常生活中，“或者”其實(shí)會(huì)有兩種意思：

1. 老碧現(xiàn)在在寫文章或者在睡覺(jué)；

2. 寫文章寫快點(diǎn)，或者，電視劇少看點(diǎn)，老碧都會(huì)有更多時(shí)間健身了。

在情形1中，老碧只能同時(shí)存在一種狀態(tài)，不可能既“在寫文章”，又“在睡覺(jué)”的；

在情形2中，老碧做到“文章寫快點(diǎn)”，或者，“電視劇少看點(diǎn)”，會(huì)有更多時(shí)間健身，如果“文章寫快點(diǎn)”的同時(shí)“電視劇少看點(diǎn)”，就會(huì)有更多更多時(shí)間健身了。

數(shù)學(xué)中的“或”取情形二。

同樣，既然是為了拿“有理數(shù)的分劃”來(lái)定義數(shù)，那么，也應(yīng)該“去歧義”。

每一個(gè)有理數(shù)對(duì)應(yīng)兩種“有理數(shù)分劃”，我們就人為規(guī)定取其中一種情形作為有理數(shù)的定義，每一本教材情形不盡相同，這本書(shū)取，“界數(shù)”落在上組的情況作為有理數(shù)的定義形式。

這樣，數(shù)與分劃實(shí)現(xiàn)了“一一對(duì)應(yīng)”。

按照這種定義，我們來(lái)依次驗(yàn)證有理數(shù)的所有公理對(duì)無(wú)理數(shù)是否也成立。

7實(shí)數(shù)域的序

先定義“等于”：

再定義“大于”：

分兩種情形——

1.無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的比較

意思是，每一個(gè)無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)“有理數(shù)的分劃”，其中下組的有理數(shù)比這個(gè)無(wú)理數(shù)小，上組的則比它大。

2.無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的比較

也就是以下組為依據(jù)，兩個(gè)不同無(wú)理數(shù)的確定的”有理數(shù)的分劃“，下組大的無(wú)理數(shù)大；

從集合論的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，就是如果我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)無(wú)理數(shù)確定的“有理數(shù)分劃”的下組包含另外一個(gè)，則這個(gè)無(wú)理數(shù)大。

無(wú)理數(shù)的“序”由此得到定義，明天我們就來(lái)具體看看。

如何從這個(gè)定義，導(dǎo)出與有理數(shù)的“序”一樣的性質(zhì)——“三歧性”，“傳遞性”和“稠密性”。

拭目以待！