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e^x泰勒展開的部分和多項式根的分布

2022-04-02 22:26 作者:磁懸浮青蛙呱呱呱 0人讀過 | 我要投稿

$e%5Ex$ 的泰勒展開如下：

$%20e%5Ex%3D1%2Bx%2B%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D%7B2!%7D%2B%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7B3!%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cdfrac%7Bx%5En%7D%7Bn!%7D%2B%5Ccdots$

其部分和多項式為

$S_n(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

一個顯而易見的等式是：

$S_n'(x)%3DS_%7Bn-1%7D(x)$

利用上式，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法容易證明，當(dāng)n是奇數(shù)時， $S_n(x)%3D0$ 有且僅有一個實根，實根隨n單調(diào)遞減；當(dāng)n是偶數(shù)時， $S_n(x)%3D0$ 沒有實根，有且僅有一個正的極小值點。2012華約自主招生考了結(jié)論。參見
https://wenku.baidu.com/view/20088d6359fb770bf78a6529647d27284b7337dc.html ，第14題。

下面兩個視頻也介紹了 $S_n(x)$ 的一些性質(zhì)。

下圖就是 $S_n(x)%3D0$ 的全部復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上的分布，

上圖充分體現(xiàn)了Lucas定理：設(shè) $f_n(z)%3D(z-z_1)(z-z_2)%5Ccdots%20(z-z_n)%20$ 是一個復(fù)系數(shù)多項式，則 $f'_n(z)$ 的零點落在點 $z_1%2Cz_2%2C%5Ccdots%2Cz_n$ 構(gòu)成的凸包之內(nèi)。對平面點集的凸包做一個通俗的解釋：在每個點上插一顆圖釘，然后用一根拉長的橡皮筋從外圍去套這些圖釘，橡皮筋收緊以后所形成的凸多邊形就是這個點集的凸包(如下圖)。

?當(dāng) $n%5Cto%20%2B%5Cinfty$ 時， $S_n(x)%3D0$ 的全部復(fù)數(shù)根除以n后，漸近分布在
曲線 $x%5E2%2By%5E2%3De%5E%7B2x-2%7D%20$ 上，寫成復(fù)數(shù)形式為 $%7Cz%7C%3D%7Ce%5E%7Bz-1%7D%7C%20$ ，或者 $%7Cze%5E%7B1-z%7D%7C%3D1$ ，這被稱為Szego曲線，參考文獻(xiàn)如下：

G. Szego, Uber eine Eigenschaft der Exponentialreihe, Sitzungsberichte der Berliner Math. Gesellschaft 21 (1922) 50–64.
R.S. Varga, A.J. Carpenter. Asymptotics for the zeros of the partial sums of $ e^z $.II. Computational Methods and Function Theory, 1990.
Kriecherbauer T, Kuijlaars A, Mclaughlin K, et al. Locating the zeros of partial sums of exp(z) with Riemann-Hilbert methods[J]. Mathematics, 2008, 458.
Dupuy T, Mclaughlin D T, SZEGO CURVES, STEEPEST DESCENT ANALYSIS AND THE ZERO BEHAVIOR OF PARTIAL SUMS OF THE EXPONENTIAL FUNCTION, 2005.
Buckholtz J D . A Characterization of the Exponential Series[J]. American Mathematical Monthly, 1966, 73(4):121-123.
Peter Walker. The Zeros of the Partial Sums of the Exponential Series.[J]. American Mathematical Monthly, 2003.