【學(xué)習(xí)筆記】量子雜談（二）：被遺忘的守恒量，被忽視的對稱性（上篇）

2023-07-24 00:31 作者:PATHFINDER-MUR 0人讀過 | 我要投稿

前言

????? ? 一如既往地隨便寫寫。

? ? ? ? 本人曾被問及氫原子的能級為何只與n有關(guān)系，我敷衍地答道來源于SO(4)對稱性便沒有多想，然而當(dāng)時的我對這個問題實(shí)際上知之甚少。

????????篇幅和時間原因，我決定拆成兩次寫。

1. 從開普勒問題說起

? ? ? ? 試想，在宇宙中有一顆固定位置的恒星。現(xiàn)有一顆行星圍繞它進(jìn)行橢圓軌道運(yùn)動，請問需要哪些參量可以確定下來這顆行星的運(yùn)動軌跡？（經(jīng)典力學(xué)，且不計(jì)二體修正）

????????回顧我們大學(xué)物理或者高中競賽中學(xué)過的圓錐曲線運(yùn)動的機(jī)械能公式：

$E%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Br%7D%3D-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Ba%7D$

其中M、m分別為恒星、行星質(zhì)量，這里a就是橢圓半長軸。通過行星運(yùn)動的機(jī)械能守恒，我們可以得到橢圓半長軸a的大小。

????????我們還有軌道角動量公式：

$L%3Dmv_%5Ctheta%20r%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BGM%7D%7Ba%7D%7Dmb$

通過角動量（大?。┦睾憧梢赃M(jìn)一步得出半短軸b的值。

? ? ? ? 高中的幾何知識告訴我們，確定一個橢圓的形狀需要知道其半長軸a、半短軸b，因?yàn)榇撕蟊阋驳媚艿玫綑E圓半焦距 $c%3D%5Csqrt%7Ba%5E2-b%5E2%7D$ ，離心率 $e%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D$ 等等。

????? ? 至此我們得到了行星的軌道形狀，但問題還未討論完全——我們還需要確定這個橢圓在宇宙空間中的“擺放位置”，也就是我們還需要確定該橢圓所在平面！此外，該橢圓在該平面中不應(yīng)該是自由旋轉(zhuǎn)的，它總得是固定的（得考慮考慮如何進(jìn)行描述）！

????????可能有細(xì)心的朋友早已發(fā)現(xiàn)，對于“角動量守恒”這個條件，我們只用了其大小守恒，并未涉及其方向性質(zhì)，而行星軌道角動量的方向正是其軌道平面的法向（可以拿右手握一圈試一試）。也就是說，一旦角動量矢量固定下來，我們便確定了其橢圓軌道在宇宙空間中的“擺放位置”。

????????現(xiàn)在的問題是，行星軌道自身可以在該固定平面內(nèi)“轉(zhuǎn)動”（圍繞其恒星焦點(diǎn)），它還沒有被完全規(guī)定下來。我們急需一個表征橢圓軌道在平面內(nèi)的方向的矢量。

????????高中數(shù)學(xué)課上我們處理的橢圓問題大都是以其幾何中心為原點(diǎn)，將其長軸、短軸所在直線與直角坐標(biāo)系的x軸、y軸重合放置的情景。后來我們知道，斜著放置（對應(yīng)著某些xy交叉項(xiàng)）總可以經(jīng)過正交變換（或者說就是變量代換）化歸到“正放置”的情形。那么對于這個目前自由度為1的體系，我們是不是也可以以橢圓長軸（或短軸）指向（比如與x固定軸的夾角）表征其在平面中的位置？

????????我們現(xiàn)在引入一個新的矢量 $%5Cvec%7BA%7D%3D%5Cvec%7Bp%7D%5Ctimes%5Cvec%7BL%7D-%5Calpha%20m%5Cfrac%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%7Br%7D$ 。這個矢量（以及它的保守性）最早由赫爾曼與雅各布發(fā)現(xiàn)，后來拉普拉斯用代數(shù)方法重新發(fā)現(xiàn)，之后吉布斯又重新發(fā)現(xiàn)這個矢量，并由龍格整理和推廣，而楞次則將其應(yīng)用于氫原子問題，不久后泡利利用這個矢量和矩陣力學(xué)推導(dǎo)出了氫原子光譜。現(xiàn)在我們一般把這個矢量稱為Laplace-Runge-Lenz矢量（簡記LRL矢量），或稱龍格-楞次矢量。

????????這個LRL矢量特殊在哪里？首先它垂直于角動量，即 $%5Cvec%7BA%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BL%7D%3D0$ ，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cvec%7BL%7D%5Ccdot(%5Cvec%7Bp%7D%5Ctimes%5Cvec%7BL%7D)%3D0" alt="%5Cvec%7BL%7D%5Ccdot(%5Cvec%7Bp%7D%5Ctimes%5Cvec%7BL%7D)%3D0">，且 $%5Cvec%7BL%7D%5Ccdot%5Cvec%7Br%7D%3D0$ ，所以 $%5Cvec%7BL%7D%5Ccdot%20(%5Cvec%7Bp%7D%5Ctimes%5Cvec%7Br%7D-%5Calpha%20m%20%5Chat%7Br%7D)%3D0$ 。也就是說，LRL矢量位于橢圓軌道平面！更重要的是，在開普勒問題中，這個LRL矢量是守恒的，以下參考高顯《經(jīng)典力學(xué)》P134：

????????進(jìn)一步的研究會發(fā)現(xiàn)LRL矢量的方向與橢圓長軸方向重合（此處從略），那么看來LRL矢量可以是我們夢寐以求的用于表征平面內(nèi)橢圓位置的矢量。

????????現(xiàn)在我們來看，一旦橢圓的長軸、短軸長度確定，橢圓軌道平面確定，在平面內(nèi)橢圓的長軸方向確定——那么行星的橢圓軌道便被完全確定下來。那么根據(jù)上述討論，這些確定的幾何參量，其背后對應(yīng)著行星（系統(tǒng)）的機(jī)械能、角動量大小、角動量方向、LRL矢量的方向的確定或守恒。（ $%7B%7D$ $%5C%7B%20a%2Cb%2C%5Chat%7Bn%7D%2C%20%5Chat%7Be%7D%20%5C%7D%20%5Crightarrow%20%5C%7B%20E%2C%7CL%7C%2C%5Chat%7BL%7D%2C%20%5Chat%7BA%7D%20%5C%7D$ ，其中 $%5Chat%7Be%7D$ 離心率矢量，代表長軸方向）

????????這時有機(jī)智的同學(xué)想問了，考慮到空間中的剛體具有6個自由度，上述確定一個橢圓需要6-1=5個參數(shù)（這個1來源于恒星/焦點(diǎn)位置確定；另外6的來歷還可以是a,b,n_x,n_y,e_x,e_y，之所以不考慮z分量是因?yàn)榉较蛳蛄科椒胶蜌w一）。而我們的守恒量E， $%5Cvec%7BL%7D$ ， $%5Cvec%7BA%7D$ 其實(shí)是1+3+3=7個守恒量，考慮到矢量的三維分量。7比5多倆。這是因?yàn)镋，L，A之間并不完全獨(dú)立，我們有倆關(guān)系約束著：