一、數(shù)列的基本概念

1、定義：

按照一定的次序排列的一列數(shù)，例如：a1，a2，a3，…，an，…，叫做數(shù)列，簡記為{an}（n∈N+）。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。第n項an叫做這個數(shù)列的通項或一般項。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項，也稱為首項。下角標數(shù)1，2，3，…，n叫做項數(shù)。數(shù)列按照有限性可分為有窮數(shù)列（有限項）和無窮數(shù)列（無限多項）。

2、通項公式：

如果一個數(shù)列{an}的第n項an能用關(guān)于項數(shù)n的一個表達式來表示，那么這個表達式叫做這個數(shù)列的通項公式。

3、前n項和：

如果一個數(shù)列{an}的前n項為：a1，a2，a3，…，an（n∈N+），我們把這些數(shù)相加叫做這個數(shù)列的前n項和，一般記作Sn，則Sn= a1+a2+a3+…+an。數(shù)列{an}的前n項和Sn也能用關(guān)于項數(shù)n的一個表達式來表示。

4、利用數(shù)列的前n項和公式來求通項公式：

5、常數(shù)列：

如果一個數(shù)列的每一項都為同一個常數(shù)m，那么這個數(shù)列叫做常數(shù)列，通項公式為an=m,前n項Sn=nm。

二、等差數(shù)列

1、定義：

如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列。常數(shù)叫做公差，記為d。

2、通項公式：

以首項a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+（n-1）d（n∈N+）。通用形式為an=kn+b。（n∈N+）

推導(dǎo)：

①累加法：

在等差數(shù)列{an}中：an-(an-1)=d,

an-a(n-1)=d,

a(n-1)-a(n-2)=d,

……

a2-a1=d,

把這n-1個式子相加可得：an-a1=(n-1)d,即：an=a1+（n-1）d（n∈N+）。

②迭代法：

因為{an}是等差數(shù)列，

所以an=a(n-1)+d=a(n-2)+2d=……=a1+(n-1)d（n∈N+）。

3、等差中項：

若a，b，c三數(shù)成等差數(shù)列，?則b=（a+c）/2，2b=a+c，稱b為a、c的等差中項。

4、等差數(shù)列的前n項和：

設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1為首項，d為公差

Sn=n(a1+an）/2=na1+n(n-1)d/2（n∈N+）

通用形式為Sn=kn2+bn（n∈N+）

推導(dǎo)：（分組求和法）

因為Sn=a1+a2+a3+…+an=an+ an-1 + an-2 +…+a1,

所以2Sn=(a1+an)+(a2+ an-1 )+…+(an+a1)

又因為a1+an=a2+ an-1 =…=an+a1，

所以Sn= n(a1+an）/2，

又因為an=a1+(n-1)d，

所以Sn=na1+ n(n-1)d/2（n∈N+）。

5、等差數(shù)列的性質(zhì)：

①下角標和的性質(zhì)：

若m+n=p+q（m、n、p、q∈N+），則am+an=ap+aq。

證明：

因為m+n=p+q，

所以a(m+n)=a(p+q），am=a(m+n)-nd,an=a(m+n)-md

所以am+an=2a(m+n)-(nd+md）= 2a(p+q)-(pd+qd）=ap+aq。

②兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和數(shù)列{an+bn}，差數(shù)列{an-bn}仍為等差數(shù)列。（可以利用數(shù)列{an}與{bn}的通項公式的通用形式為kn+b來證明）

③等差數(shù)列任意等距的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

舉例：等差數(shù)列{an}的項為：a1、a2、a3、……、an、……，首項a1，公差為d，從中取出a1、a3、a5、……，首項a1，公差為2d，此數(shù)列為等差數(shù)列。（還是利用其通項公式）

④等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)k（k∈N+）項的和構(gòu)成的數(shù)列Sk，S(2k)-Sk，S(3k)-S(2k)，S(4k)-S(3k)，……仍為等差數(shù)列。

證明：設(shè)等差數(shù)列{an}，首項為a1，公差為d，前n項和為Sn（n、k∈N+）

則【S(2k)-Sk】-Sk=【S(3k)-S(2k)】-【S(2k)-Sk】 = 【S(4k)-S(3k)】-【S(3k)-S(2k)】=…=【S(nk+k)-S(nk)】-【S(nk)-S(nk-k)】=(k^2)xd，

所以新構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，首項為Sk，公差為(k^2)xd。

三、等比數(shù)列

1、定義：

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用字母q表示（q≠0）。

2、通項公式：

以首項為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為an=a1×q^(n-1)（n∈N+，a1、q≠0）。

推導(dǎo)：

①累乘法：

在等比數(shù)列{an}中：an / a(n-1)=q，

an / a(n-1)=q,

a(n-1) / a(n-2)=q,

……

a2 / a1=q,

把這n-1個式子相乘可得：an / a1=q^(n-1),即：an=a1×q^(n-1）（n∈N+，a1、q≠0）

②迭代法：

因為{an}是等比數(shù)列，

所以an=a(n-1)×q=a(n-2)×q^2=……=a1×q^(n-1)（n∈N+，a1、q≠0）

3、等比中項：

若a、b、c三數(shù)成等比數(shù)列，則b=±√ac，稱b為a、c的等比中項。（a、b、c≠0）

4、等比數(shù)列的前n項和：

設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a1為首項，q為公比。（n∈N+，a1、q≠0）

推導(dǎo)：

①當(dāng)q=1時，Sn=na1，an=a1≠0（常數(shù)列）

②當(dāng)q≠1時，（錯位相減法）

由(1)-(2)得：(1-q)Sn=a1-anq

所以Sn=a1-anq / (1-q)（q≠1）。

5、等比數(shù)列的性質(zhì)：

①下角標和的性質(zhì)：

若b+d=c+f，則ab×ad=ac×af（b、d、c、f∈N+）

證明：

因為b+d=c+f，

所以a(b+d)=a(c+f)，ab=a(b+d)/q^d，ad= a(b+d)/q^b

所以ab×ad=a(b+d)^2 / q^(b+d)= a(c+f)^2 / q^(c+f)=ac×af

②等比數(shù)列的基本運算：【以兩個等比數(shù)列{an}和{bn}為例 ，首項分別為a1、b1，公比分別為q1、q2(n∈N+）】

（1）兩個等比數(shù)列{an}和{bn}的倒數(shù)數(shù)列{1/an}和{1/bn}為等比數(shù)列，首項分別為1/a1、1/b1，公比分別為1/q1、1/q2；

（2）兩個等比數(shù)列{an}和{bn}的平方數(shù)列{an^2}和{bn^2}為等比數(shù)列，首項分別為a1^2、b1^2，公比分別為q1^2、q2^2；

（3）兩個等比數(shù)列{an}和{bn}的積數(shù)列{an×bn}為等比數(shù)列,此數(shù)列的首項為（a1xb1），公比為（q1xq2）；

（4）兩個等比數(shù)列{an}和{bn}的商數(shù)列{an/bn}為等比數(shù)列，此數(shù)列的首項為（a1/b1），公比為（q1/q2）。

③等比數(shù)列任意等距的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

舉例：等比數(shù)列{an}的項為：a1，a2，a3，……，an，……首項a1，公比為q，從中取出a1，a3，a5，……，首項a1，公比為q^2，此數(shù)列為等比數(shù)列。（還是利用等比數(shù)列的通項公式）

④等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)k（k∈N+）項的和構(gòu)成的數(shù)列Sk，S(2k)-Sk，S(3k)-S(2k)，S(4k)-S(3k)，……仍為等比數(shù)列。

證明：設(shè)等比數(shù)列{an}，首項為a1，公比為q，前n項和為Sn（n、k∈N+）

則【S(2k)-Sk】/Sk= 【S(3k)-S(2k)】/【S(2k)-Sk】=【S(4k)-S(3k)】/【S(3k)-S(2k)】=…=【S(nk+k)-S(nk)】/【S(nk)-S(nk-k)】=q^k，

所以新構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，首項為Sk，公比為q^k。

⑤若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列{c^an}為等比數(shù)列。

證明：設(shè)在等差數(shù)列{an}中，設(shè)首項為a1，公差為d，(n∈N+)

則在數(shù)列{c^an}中（c≠0），

c^a2/c^a1=c^(a2-a1)=c^d

c^a3/c^a2=c^(a3-a2)=c^d

……

c^an/c^(an-1)=c^[an-(an-1)]=c^d

根據(jù)等比數(shù)列的定義可得，數(shù)列{c^an}為等比數(shù)列，首項為c^a1，公比為c^d。

⑥若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列{Lgbn}為等差數(shù)列。

證明：設(shè)在等比數(shù)列{bn}中，設(shè)首項為b1，公比為q，(n＞1且n∈N+)

則在數(shù)列{Lgbn}中，

Lgb2-Lgb1=lg(b2/b1)=lgq

Lgb3-Lgb2=lg(b3/b2) =lgq

……

Lgbn-Lg(bn-1)=lg[bn/(bn-1)] =lgq

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得，數(shù)列{Lgbn}為等差數(shù)列，首項為Lgb1，公差為Lgq。