有一個(gè)很古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不知為何最近又突然火了：

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四只鴨子在一個(gè)圓形的水池里，每只鴨子的位置都是隨機(jī)的。請(qǐng)問(wèn)這四只鴨子在同一個(gè)半圓里的概率有多大？

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我看了網(wǎng)上不少人的做法，都太復(fù)雜了。其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題難度并不大，我們可以用下面的方法：

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首先，把每只鴨子和圓心連線，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：連線的長(zhǎng)度并不重要，我們關(guān)心的是連線的角度——只要夾角最大的兩條線夾角小于180度，就能滿足要求。既然如此，我們可以讓鴨子分布在一個(gè)圓環(huán)上。這樣我們就把問(wèn)題從一個(gè)二維平面問(wèn)題，變成了一個(gè)一維圓環(huán)問(wèn)題了。

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然后，我們假設(shè)所有的鴨子心中都有一個(gè)正方向，比如順時(shí)針為正。如果鴨子的分布滿足要求，那么一定能找到一只“鴨王”，鴨王的條件是：?

• 鴨王處于所有鴨子的最前頭。

• 鴨王身后跟了3只鴨子，并且3只鴨子與鴨王的夾角都小于180度。

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如果能找到鴨王，四只鴨子就一定在一個(gè)半圓里。反之，如果鴨子不在同一個(gè)半圓里，那么你不可能找到一只鴨王，讓其余的三只鴨子都在它身后，并且與它的夾角小于180度。這樣，“鴨子在同一個(gè)半圓里”的問(wèn)題，就等價(jià)于“存在鴨王”的問(wèn)題。

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我們繼續(xù)思考：存在鴨王的概率有多大？如果這四只鴨子分別是A、B、C、D，那么每只鴨子都可以當(dāng)“鴨王”，而且，鴨王最多只有一只。所以“存在鴨王“的概率等于A、B、C、D分別稱(chēng)王的概率之和。

?P(鴨王存在)=P(A王)+P(B王)+P(C王)+P(D王)

那么，A當(dāng)鴨王的概率有多大呢？如果A當(dāng)鴨王，以A為界限，前后各有180度的范圍。B、C、D的三只鴨子都需要分布在A后方的180度范圍里。由于每只鴨子都隨機(jī)分布，B、C、D都在A身后180度的范圍里的概率是(1/2)^3,?這就是A當(dāng)鴨王的概率。同理，B、C、D當(dāng)鴨王，概率也是這么大。所以，四只鴨子在同一個(gè)半圓里，概率為

即50%。

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我們不妨再做一點(diǎn)引申：假如有n只鴨子，在同一個(gè)圓形水池中，分布在同一個(gè)半圓里的概率有多大？

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顯然，這n只鴨子都可以當(dāng)鴨王，每只鴨王身后要跟著n-1個(gè)鴨子，每只鴨子在鴨王身后的概率都是1/2，所以鴨王存在的概率是：

還能再給力一點(diǎn)嗎？

如果你覺(jué)得還不夠過(guò)癮，那來(lái)思考以下這個(gè)問(wèn)題：假如有n只鴨子，隨機(jī)分布在一個(gè)圓形水池中，所有鴨子都在一個(gè)角度小于θ的扇形里的概率有多大？

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對(duì)這個(gè)問(wèn)題，許多朋友給出了答案：只需要用θ/360替代1/2即可，也就是：

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但是，只有在θ<180度的時(shí)候，上面的結(jié)果才是成立的。如果θ>180度,很容易驗(yàn)證上面結(jié)果是不正確的。其原因在于：θ>180度時(shí)，滿足條件的鴨王不止1只！此時(shí)問(wèn)題將會(huì)變得非常復(fù)雜。

目前我還沒(méi)有計(jì)算出來(lái)，如果有朋友能計(jì)算出來(lái)，歡迎留言指教。