游戲二十四點有幾種情況？
我的路上打發(fā)時間游戲之一——二十四點，找車牌號車廂號數(shù)字鐘什么的，不過走路行車還是要專心，否則親人兩行淚。
由于我能力不足，可能出現(xiàn)錯誤或不嚴(yán)謹(jǐn)，歡迎指正！
1. 玩法和舉例
假裝我們有一副撲克牌，去掉大小王，再去掉JQK，抽出四張牌，用牌上面的數(shù)字，通過加減乘除運算，算出二十四。
也有帶JQK玩的算11、12、13，我們這里就采取最簡單的1到10啦
可能有不止用四個數(shù)字算的版本，我們這里就采取最通用的用四個數(shù)字算
有許多其他版本的玩法，我們這里就采取最簡單的啦
例子： 5 3 10 3
我想到的答案：
（10 - 5 + 3）* 3 = 24
可能有多種解法啦~
2.?游戲二十四點有幾種情況？
好想知道二十四點到底有多少種情況，想理個小冊子出來玩。。。
0000到9999一共是10000種情況，但是里面有很多重復(fù)的，比如5、3、10、3和3、3、5、10算一種情況。
我百度了“獨立的24點的個數(shù)”，百度知道告訴我715。[1]
（13 * 12 * 11 * 10）/（4 * 3 * 2 * 1）= 715
解釋我沒看懂（捂臉），參考鏈接在下方[1]~
然后我去百度了“重復(fù)組合數(shù)“，百度百科告訴我以下公式[2]：
它給了兩種推出這個公式的證法，還挺詳細(xì)，我還是沒懂，參考鏈接在下方[2]。（怎么會有我這種科普QAQ）
3. 暴力枚舉法
到底是不是715呢？我用C寫了個東西，如下：
思路是0000到9999全部過一遍，只把從小到大排列的留下。那個“total%7==0”那里不要在意，只是為了打印出來排版好看。
它輸出了這個東西，如下：
確實是715呢。
我的小代碼和結(jié)果放在這：https://github.com/yyzz110/twentyFourGame
4. 兩個計算思路
在知網(wǎng)上搜索“重復(fù)組合數(shù)”找到一篇論文《有重復(fù)組合公式的幾種證明方法》里面有四個證明方法。[3]
我大概看懂倆，大概。。。
其一，結(jié)合這里二十四點的例子大概可以這樣解釋：
如果正巧拿到四張牌都是一樣的，如3、3、3、3。是哪一個數(shù)字呢？一共有10種情況。
如果拿到四張牌只含有兩種數(shù)字，如6、6、9、9。是哪兩個數(shù)字呢？
一共有（10 *?9）/（2 * 1）= 45種情況。
這兩個數(shù)字怎么分配呢？
以6、9為例，有6、6、6、9；6、6、9、9；6、9、9、9三種。
45 * 3 = 135
如果拿到四張牌只含有三種數(shù)字，如2、8、10、10。是哪三個數(shù)字呢？
一共有（10?*?9 * 8）/（3 * 2?*?1）= 120種情況。
這三個數(shù)字怎么分配呢？
以2、8、10為例，有2、8、10、10；2、8、8、10；2、2、8、10三種。
120?* 3 = 360
如果拿到四張牌都不一樣，如1、3、5、6。是哪四個數(shù)字呢？
一共有（10?*?9 * 8 * 7）/（4 * 3 *?2?*?1）=?210種情況。
四種情況加一起，10 + 135 + 360 + 210 = 715
其二，結(jié)合二十四點的例子：
把十個數(shù)想象成十個盒子。兩“|"形成，一個盒子，長這樣，“| |”。
十個盒子由十一個“|”組成，長這樣：“| | | | | | | | | | |”。
把四個球放在十個盒子里，盒子里可以不放球或放多個球。用“O”代表球。
N號盒子里有X個球代表了數(shù)字N有X個。
比如，“|O|O|O|O|?|?|?|?|?|?|”代表了1、2、3、4；
“|OO| |O| |?|?|?|?|?|O|”代表了1、1、3、10；
“| |?|OOOO|?|?|?|?|?|?| |”代表了3、3、3、3。
這個問題就變成了“|”和“O”有幾種排列。
第一和最后一個固定是“|”了，四個球球“O”有4 + 11 - 2 = 13個坑可以放。
不計放球順序，所以是，（13 * 12 * 11 * 10）/（4 * 3 * 2 * 1）= 715
（好厲害怎么想出來的，好厲害）
5. 碎碎念
好餓。。。
這里怎么插入公式？
謝謝你來看?。?！
由于我能力不足，可能出現(xiàn)錯誤和不嚴(yán)謹(jǐn)，歡迎指正！
參考：
[1]?百度知道 “4個給定的數(shù)算24點，一共有多少種算式情況？”https://zhidao.baidu.com/question/161393634.html
[2]?百度百科 “重復(fù)組合”https://baike.baidu.com/item/%E9%87%8D%E5%A4%8D%E7%BB%84%E5%90%88/6774375
[3]?張曉琴，李順勇. （2011）有重復(fù)組合公式的幾種證明方法. 大學(xué)數(shù)學(xué),2011年06期,143-145.
