如果把接下來要講的事情寫成一個故事，故事主角——一個17歲的高中生——和他父親的對話應(yīng)該是這樣的：

主角：爸爸，我要去解決一個數(shù)學(xué)難題，它將近30年沒人解決了。

爸爸：啥？這個問題啊……? 孩子，聽我說，數(shù)學(xué)會教你做人的……?

主角：你們做不出來，不代表我做不出來！我還有機(jī)會，我會全力以赴的！

然后，在博覽群書半個月后，這個難題被這個少年解決了……?

這不是某個“民科”的自我臆想，也不是某個爽文小說里的場景，而是最近在數(shù)學(xué)界發(fā)生的真實新聞。

丹尼爾·拉爾森(Daniel Larsen)，在他17歲，還沒有任何高等教育經(jīng)歷的時候，解決了一個27年沒有解決的數(shù)論的世界難題——卡爾邁克數(shù)滿足伯特蘭假定。名詞都看不懂？別急我們會介紹這個問題，高中級別數(shù)學(xué)水平的人，應(yīng)該能看懂問題本身。

費(fèi)馬小定理、卡爾邁克數(shù)和伯蘭特假定

對于正整數(shù)p和a，如果p和a互質(zhì)，p還是質(zhì)數(shù)且的話，那么 a^p - a (x^y表示x的y次方，下文同)一定是p的倍數(shù)，這就是費(fèi)馬小定理。但是反過來，哪怕對于所有和p互質(zhì)的a，都滿足 a^p - a是p的倍數(shù)這個條件，并不一定能得到p一定是質(zhì)數(shù)，就是說p有可能是合數(shù)。那么這些合數(shù)就叫做卡爾邁克數(shù)。最小的卡爾邁克數(shù)的例子就是561。

這個原始定義要驗證起來比較麻煩。1899年，數(shù)學(xué)家柯瑟爾特(Alwin Korselt)提出了一種判定卡邁克爾數(shù)的等價辦法：一個合數(shù)n是否是卡爾邁克數(shù)，等價于n同時滿足下面兩個條件：

1、n的質(zhì)因數(shù)分解中，每個質(zhì)因數(shù)只出現(xiàn)1次。

2、對于n的每個質(zhì)因數(shù)p， n - 1都是 p - 1 的倍數(shù)。

比如前面的561，它分解后是3×11×17。三個質(zhì)因數(shù)只出現(xiàn)了1次。n - 1 是560 ， 對應(yīng)的三個p - 1是 2、10、16 。560分別是這三個數(shù)的倍數(shù)， 所以561是卡爾麥克數(shù)。所以由這個辦法，你可以很容易判定561, 1105, 1729, 2465這四個數(shù)是卡爾邁克數(shù)。

自561被發(fā)現(xiàn)是卡爾邁克數(shù)后，越來越多的卡爾邁克數(shù)被發(fā)現(xiàn)。人們問卡爾邁克數(shù)是否是無窮多個。這個問題卻異常的難，到1994年才被阿爾福德(Red Alford)、格蘭維爾(Andrew Granville)，波梅蘭斯(Carl Pomerance)三位數(shù)學(xué)家解決，論文發(fā)表在數(shù)學(xué)界最頂級的期刊《數(shù)學(xué)年刊》上。三位數(shù)學(xué)家的論文其實證明了這樣一個命題：當(dāng)n足夠大的時候，小于n的卡爾邁克數(shù)至少有n^(2/7)個。

但是，這篇論文沒辦法給出卡爾邁克數(shù)更細(xì)致的分布，作者們在論文中提問：是否有這樣的命題成立：當(dāng)n充分大的時候，n和2n之間都至少存在一個卡爾麥克數(shù)?！@就是伯蘭特假定。名稱來源于數(shù)論中一個著名的定理，伯蘭特定理：對所有正整數(shù)n，n和2n之間都存在一個質(zhì)數(shù)。

然后，丹尼爾·拉爾森在17歲讀高中的時候解決了這個問題。

興趣起點(diǎn)

丹尼爾·拉爾森對數(shù)論研究始于數(shù)年前的傳奇事件。2013年，58歲張益唐發(fā)表了一篇驚人的論文，這篇論讓人們對孿生質(zhì)數(shù)猜想的研究推進(jìn)一大步——張益唐證明了有無窮多對質(zhì)數(shù)，它們之差不超過7000萬。后來，數(shù)論大咖陶哲軒組織了一大票人一起合作優(yōu)化張益唐的結(jié)果，又促使數(shù)論研究前進(jìn)了一大步。其中，其佼佼者就是梅納德，他用新方法對這個問題提供了更精妙的證明。傳奇的故事，加上大牛們的參與，一時間這成為了整個數(shù)學(xué)界熱點(diǎn)事件。

丹尼爾·拉爾森顯然被這個熱點(diǎn)事件影響到了。他決定去了解這方法的工作，尤其是優(yōu)化后的梅納德和陶哲軒的工作。但是，這些論文太難了，也非常復(fù)雜。數(shù)學(xué)論文總是這樣，我要闡述一個定理，會引用很多之前的已經(jīng)做好的結(jié)論。但是，當(dāng)你翻開這些這些引用的參考文獻(xiàn)的時候，你發(fā)現(xiàn)，這些參考文獻(xiàn)又引用了更多的前置結(jié)論——然后不斷引用，大量套娃。

一般人遇到這種事情，會選擇放棄。但是丹尼爾·拉爾森選擇了堅持。在不斷追溯參考文獻(xiàn)的過程中，丹尼爾·拉爾森找到一篇自己能看懂的關(guān)于卡爾邁克數(shù)的一系列論文，于是開始了這方面的研究。

當(dāng)然，對于丹尼爾·拉爾森，他還有一個優(yōu)勢，就是他的數(shù)學(xué)教授父親邁克爾·拉爾森。

爸爸：我原以為的結(jié)局不是這樣的

當(dāng)父親邁克爾·拉爾森知道他的兒子試圖解決這樣的問題的時候，他顯然不看好。作為職業(yè)數(shù)學(xué)家的邁克爾·拉爾森顯然知道問題的水有多深。

“他將會投入大量的時間和精力，結(jié)果是他可能什么也得不到。這對他的打擊絕對是致命的?！边@位父親這樣說。

但是，這位爸爸并沒有阻止兒子的行動，因為他了解兒子。一旦確定要做什么事情，兒子會異常執(zhí)著，誰也勸不回來。也許，這位父親的心中還有另外的想法——讓真正專業(yè)的數(shù)學(xué)問題賦予他一段失敗的經(jīng)歷，或許也不錯。按通俗戲謔地講，就是讓數(shù)學(xué)教他做人。

然而，故事的發(fā)展沒有走通常的路徑，兒子成功了。

問題真被解決了

數(shù)論可能是數(shù)學(xué)界“民科”最多的地方。這些人總數(shù)聲稱自己解決了什么重大的數(shù)論問題，但從他們寫的文章來看，他們連最基本的基礎(chǔ)知識都缺乏。幾乎每一個數(shù)論的頂級專家，都描述過自己和這些“民科”交流的“ 實慘”經(jīng)歷。

當(dāng)?shù)つ釥枴だ瓲柹恼撐耐瓿珊?，也把論文發(fā)給了數(shù)論領(lǐng)域的一些頂級專家。讓丹尼爾·拉爾森意外的事情是，其中很多專家認(rèn)真地閱讀了論文，并回復(fù)了他。其中就包括剛才提到的三人合作論文的作者之一的格蘭維爾。2021年11月中的一天，格蘭維爾打開一封電子郵件開始閱讀一位17歲少年的文章。文章并不是那種通俗易懂的口水文，隨著對內(nèi)容閱讀的不斷加深，格蘭維爾發(fā)現(xiàn)這篇文章很可能是對的。文章中的證明思想非常精彩。

最終，論文幾經(jīng)細(xì)節(jié)修改后，被確認(rèn)是正確的?！斑@是一篇任何數(shù)學(xué)家都會引以為傲的論文。他是一位中學(xué)生‘小孩兒’寫出來的。”格蘭維爾評價道。

結(jié)局

現(xiàn)在丹尼爾·拉爾森在麻省理工學(xué)院上大學(xué)了?，F(xiàn)在他沒確定下一步去解決什么問題，他說他要做的是保持心態(tài)開放享受大學(xué)生活，并安安靜靜的上課。

但很多人已經(jīng)在憧憬這位數(shù)學(xué)天才到了研究階段的表現(xiàn)了。

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