書接上一回……咱們上回講到了殺手?jǐn)?shù)獨，說了一些基本的技巧。下面我們繼續(xù)看看別的技巧。

Part 7 拆分沖突

拆分沖突是一種利用至少兩個虛線框，來判別組合產(chǎn)生沖突的現(xiàn)象。

如圖所示，觀察第2個宮，有兩個和值都偏小的虛線框，一個是B45形成的和值為5的虛線框，另一個則是C45形成的和值為6的虛線框。我們可以簡單地得到它的一些可能組合：B45可以是1和4，也可以是2和3；C45可以是1和5，也可以是2和4。

但是，我們可以立馬發(fā)現(xiàn)異樣：如果B45是1和4的組合的話，則C45的兩種情況都會缺少一個填寫數(shù)字。什么意思呢？C45原本可以是1和5的，但如果B45是1和4，C45就無法填入1，自然就不可能形成1和5的填數(shù)可能；同樣的，由于B45還有一個格是4，則會排除它另外一種情況——2和4的其中一個數(shù)的填入可能。這樣一來，C45兩種組合都無法形成，也就不可能有填數(shù)了。這樣顯然是矛盾的。所以，B45只可以是2和3。

同樣的，我們可以使用類似的思維，得到C45只可以是1和5的組合。如果C45是2和4的組合，會同時使得B45的兩種填數(shù)組合全部無法形成，產(chǎn)生矛盾。

所以我們就可以得到，C45是1和5，而B45是2和3。于是，觀察第3個宮，發(fā)現(xiàn)1的宮排除的最后位置只剩下B8，所以B8填入1。

這個技巧叫做拆分沖突，是將虛線框的組合全部簡單枚舉出來，隨后發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其中一種填數(shù)情況會導(dǎo)致另外一個虛線框內(nèi)的所有組合全部無法形成，于是矛盾的這么一種情況。不過，拆分沖突很多時候都只能得到它是一個數(shù)對（或更多單元格的數(shù)組）形式，所以一般來說只用于排除填數(shù)情況，故直接使用它而得到排除和唯一余數(shù)這類填數(shù)結(jié)論的話，出現(xiàn)頻率就相對較少了。

Part 8 拆分必含

什么是拆分必含？就是一些組合之中，必然會出現(xiàn)在其中的數(shù)字。它是唯一組合的一般化版本，唯一組合可以確定內(nèi)部一定是什么組合，但拆分必含只能確定一個虛線框內(nèi)的一部分單元格是什么，或者說只能確定這個虛線框內(nèi)必須出現(xiàn)的數(shù)字。但是，這樣的結(jié)構(gòu)我們可以當(dāng)做區(qū)塊來使用，進而得到一些新鮮的結(jié)論。

如圖所示，觀察到D1234是一個虛線框，和值為12。

我們需要對這個數(shù)值非常敏感，因為如果具有四格的、和值為12的虛線框，一定會出現(xiàn)1和2。這一點可能需要一點麻煩的證明手段和思維[1]。如果不太理解的，請參看腳注。

接著，我們觀察到，ABC9這個虛線框內(nèi)一定是剩下1和2沒填，因為和值為7，且填入了數(shù)字4后，只剩下兩格和為3，故必然是1和2（唯一組合）。同理，下方GH7也必須是1和2。

于是，我們就可以通過隱性數(shù)對的方式確定，EF8是1和2的隱性數(shù)對。而兩格都在由EF9和F8三格構(gòu)成的虛線框之中，而這兩格和為3，所以F8肯定為6。

為了加快我們做題的速度，我們可以嘗試記憶一些拆分必含的結(jié)論，如下表所示（列舉不完全，還有更大的虛線框，但這些虛線框一般出現(xiàn)都不太常見，所以此處不予羅列）。

[1] 這一點證明相當(dāng)麻煩，需要使用遞歸枚舉，即需要找到可能的所有組合情況。實際上，最終我們能夠得到，和值為12并占據(jù)四格的虛線框，只可能是1、2、3、6和1、2、4、5。這兩種情況下，必然包含數(shù)字1和2。因為它的證明思路較為復(fù)雜，所以你需要記住常見的一些情況，將被羅列在上方的表格內(nèi)。

續(xù)表（圖片截不下了）

希望你能記憶下來重要程度是“重要”的所有情況。

Part 9 等值虛線框

在同一個區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)相同規(guī)格和和值的虛線框，就會產(chǎn)生兩種完全不一樣的組合。我們可以利用這一點進行解題。

如圖所示，觀察第3個宮，可以發(fā)現(xiàn)有兩格規(guī)格一樣的、和值為14的虛線框。和值是一樣的，而且規(guī)格也是一樣的虛線框，還在同一宮，那它們的組合肯定是兩種不同的情況。

思考一下，可以發(fā)現(xiàn)，和值是14，并且規(guī)格為2的虛線框內(nèi)，只有兩種可能組合：5和9、6和8。那么，這兩個虛線框內(nèi)填入的必然是5和9、而另外一個虛線框里必然是6和8。

雖然我們目前暫無法確定具體哪一個虛線框是5和9，哪一個又是6和8，但因為它們同在一個宮內(nèi)，我們就可以大致確定，這四格是填入5、6、8、9的了[1]。

接著，我們發(fā)現(xiàn)，A789這個虛線框是唯一組合：1、2、4。所以第3個宮內(nèi)最后剩余的兩格BC9必然只能是3和7。

觀察第4個宮，發(fā)現(xiàn)到和值為5和6的拆分沖突，可以直接得到，D23一定是2和3，而F12則一定是1和5。

我們發(fā)現(xiàn)，在剛才第3個宮和第4個宮的推導(dǎo)步驟之中，都有關(guān)于3的結(jié)論出現(xiàn)，我們將其對第6個宮作排除，得到3的位置只能在EF78里。而E78和F8所在的虛線框內(nèi)，和值為23，它是一個由數(shù)字6、8、9構(gòu)成的唯一組合，所以這三格內(nèi)一定不能是3。故最終得到，第6個宮內(nèi)只有F7可以是3，于是F7就是3。

這種分析思維較為靈活，不過它非常好觀察到[2]。

[1] 在整體這個技巧之中，這一個局部分析操作稱為復(fù)雜數(shù)對。復(fù)雜數(shù)對就是內(nèi)部存在兩個數(shù)值是確定的情況的，而位置無法確定的數(shù)對。這種數(shù)對往往很難分析、甚至不能馬上分析出具體填數(shù)位置，但可以將它們組合成為一個大型的數(shù)組結(jié)構(gòu)（n個單元格內(nèi)填入n種不同的數(shù)字），進而排除掉一些填數(shù)情況。

[2] 本題還存在一個比較難觀察到的復(fù)雜唯一余數(shù)。觀察A行，發(fā)現(xiàn)A行剩余A1234里，只可以是3、5、6、8。而其實，剛才的拆分必含表，可以發(fā)現(xiàn)，和值為31、規(guī)格為5的虛線框必含數(shù)字9。而A1234肯定不能是9，那只能是B1，故B1是9。

Part 10 分裂虛線框

10-1 基本分裂

當(dāng)然，除了前面學(xué)習(xí)到的殺手?jǐn)?shù)獨技巧外，思路也不能太死板。例如接下來的技巧，就稍顯靈活一些。

如圖所示，觀察第7個宮，發(fā)現(xiàn)沒有跨宮的虛線框一共占據(jù)七格，它們的和是21+17=38。所以剩余的兩格的和應(yīng)當(dāng)為45-38=7。

此時，我們可以采用分裂虛線框的方式，先將這里和值為7的兩格標(biāo)注起來。

因為FG1和I34四格一起的和值是5+11=16，而G1和I3的和值是7，所以F1和I4的填數(shù)和應(yīng)為16-7=9。

隨即觀察第8個宮。發(fā)現(xiàn)9的填數(shù)位置只剩下H6。首先G456不能填入9，否則將違背數(shù)獨規(guī)則；其次H45和I56也不可能，因為這些單元格所在的和值還沒有達(dá)到9，根本不可能讓9填入進去；I4也是如此。所以只剩下H6可以填入9，因此H6是9。

這樣的思路利用到了分裂虛線框的方式，將兩個虛線框分裂成兩個分散的部分，然后對其計算一個臨時存儲用的和值結(jié)果。

10-2 利用和差關(guān)系

分裂虛線框并沒有想象的那么簡單，它還有一種使用方式，需要用到的是和差關(guān)系。

如圖所示，觀察E行，可以發(fā)現(xiàn)到總和為45，而E2345678這個虛線框總和為30，所以E1的填數(shù)和E9的填數(shù)和應(yīng)為45-30=15。而EF9填數(shù)和為7，于是聯(lián)立兩個等式：

• E1的填數(shù)+E9的填數(shù)=15；

• E9的填數(shù)+F9的填數(shù)=7。

用上式減去下式，可以得到：E1的填數(shù)減去F9的填數(shù)為15-7=8。因為數(shù)字1到數(shù)字9之中，差值為8的只有1和9，所以E1為9，而F9為1。

這種分裂形式則比起剛才的思路還要繞彎一些。

Part 11 奇數(shù)對

奇數(shù)對是一種特別的數(shù)對結(jié)構(gòu)。它需要一點點枚舉的思維。

如圖所示，觀察第6列和第6個宮，可以得到?jīng)]有跨出這兩個區(qū)域的虛線框的總和值是9+15+15+16+2+18+7=82。而兩個區(qū)域下，填數(shù)總和應(yīng)該為2×45=90。所以剛沒有被計算到的兩格A6和E6的填數(shù)之和為90-82=8。

由于兩格同列，所以填數(shù)一定不同，而和值為8，所以兩格的可能組合就只剩下1和7、2和6、3和5這三種。

接著，觀察A56所在的這個虛線框。這個虛線框的和值為7，意味著填數(shù)可能有1和6、2和5、3和4。而1和6、2和5這樣兩種情況完全不可能，因為A行含有數(shù)字1和2，意味著這兩格不能填入1和2，也就不可能存在這樣的組合。

所以A56一定只能是3和4的組合，此時形成數(shù)對結(jié)構(gòu)。而4的位置不能填入A6，原因在于剛才得到AE6的和值為8，它們不能都是4，因為它們同列。所以A6只能填入3。

以A56這樣形成的特別的數(shù)對可以被稱為奇（qí）數(shù)對，表征結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)形式相對獨特——需要逐個驗證，并發(fā)現(xiàn)“有提示數(shù)”等約束，進而排除這些情況。

Part 12 復(fù)雜排除/唯一余數(shù)

復(fù)雜排除（或復(fù)雜唯一余數(shù)）是稍顯難受的思維方式，它也是一種排除（唯一余數(shù)），不過推導(dǎo)過程和排除（唯一余數(shù)）有一點不同，而且比較難觀察到。

如圖所示，觀察第3列，可以得到DEF3的填數(shù)和應(yīng)為21-7=14。通過唯一余數(shù)的數(shù)數(shù)操作，可以發(fā)現(xiàn)F3只能是1或3；而可以很簡單地看出，A3也只能是1或3（A行只有1和3沒有填了，直接形成1和3的數(shù)對結(jié)構(gòu)）。此時，第3列就形成了1和3的顯性數(shù)對結(jié)構(gòu)。

所以，最終DE3的填數(shù)可能都只剩下5、6和9。

比較神奇的是，此時F3就不能為1，因為一旦F3為1，則DE3填數(shù)和就只能為14-1=13。發(fā)現(xiàn)5、6、9無論如何都無法組合形成和值為13的情況。所以F3一定不能是1。所以，F(xiàn)3只能是3。

這樣的結(jié)構(gòu)利用了唯一余數(shù)的思想，但推導(dǎo)過程使用了殺手求和的方式進行了驗證。這樣的結(jié)構(gòu)稱為復(fù)雜唯一余數(shù)。

Part 13 練習(xí)

殺手?jǐn)?shù)獨的基礎(chǔ)技巧就講完了。

答案如下：