【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep13】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
stolz公式——
對于*/∞型的數(shù)列xn/yn，其中——
存在自然數(shù)N"，使得n>N"時，yn是單增數(shù)列，即，yn+1>yn；
在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]為有限值或趨向于無窮的情況下；
公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。
兩向量垂直充要條件：內(nèi)積為0。
矩陣乘法運算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0.——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析教程》（常庚哲 史濟懷 編）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析教程（常庚哲 史濟懷?編）》）——
計算數(shù)列極限：
a.lim [1+1/2^（1/2）+……+1/n^（1/2）]/n^（1/2）
b.lim?[1+2^（1/2）+……+n^（1/2）]/n^（3/2）
解——
a.
分母為單增數(shù)列，則根據(jù)stolz公式：
lim?[1+1/2^（1/2）+……+1/n^（1/2）]/n^（1/2）
=lim[1/n^（1/2）]/[n^（1/2）-（n-1）^（1/2）]
=lim{[1/n^（1/2）][n^（1/2）+（n-1）^（1/2）]}/{[n^（1/2）-（n-1）^（1/2）][n^（1/2）+（n-1）^（1/2）]}
=lim[1/n^（1/2）][n^（1/2）+（n-1）^（1/2）]
=lim [1+（1-1/n）^（1/2）]
=1+lim（1-1/n）^（1/2）
=1+1=2
b.
分母為單增數(shù)列，則根據(jù)stolz公式：
lim?[1+2^（1/2）+……+n^（1/2）]/n^（3/2）
=lim[n^（1/2）]/[n^（3/2）-（n-1）^（3/2）]
=lim{[n^（1/2）][n^（3/2）+（n-1）^（3/2）]}/{[n^（3/2）-（n-1）^（3/2）][n^（3/2）+（n-1）^（3/2）]}
=lim{n^2+（n-1）*[n（n-1）]^（1/2）}/[n^3-（n-1）^3]
=lim[n^2+（n-1）*(n^2-n)^（1/2）]/（3n^2-3n+1）
=lim n^2/（3n^2-3n+1）+lim[（n-1）*(n^2-n)^（1/2）]/（3n^2-3n+1）
=lim 1/（3-3/n+1/n^2）+lim[（1-1/n）*（1-1/n）^（1/2）]/（3-3/n+1/n^2）
=1/3+1/3=2/3
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
已知三個非零向量a，b，c，求證向量a分別與下列兩個向量垂直：
a.b（ac）-c（ab）
b.b-a（ab）/a^2
解：記向量a，b夾角為∠1，向量a，c夾角為∠2——
a.
a[b（ac）-c（ab）]
=|a||b|cos∠1*|a||c|cos∠2-|a||c|cos∠2*a||b|cos∠1
=0，證畢。
b.
a[b-a（ab）/a^2]
=|a||b|cos∠1-[（|a|^2）（|a||b|cos∠1）]/（|a|^2）
=0，證畢。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A.
證：
因為AB=E，所以|AB|=|E|。從而|A||B|=1，所以|A|不為0，|B|不為0。于是A，B都可逆。
左乘A^（-1）：A^（-1）AB=A^（-1）E，則B=A^（-1），同理，A=B^（-1）.
就到這里。
