【趣味物理題】斯托克斯流動拋體運動

2021-10-11 09:12 作者:AoiSTZ23 0人讀過 | 我要投稿

鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問題】

假設(shè)空氣阻力與射彈的速度成正比 $F_D%20%3D%20-kv$ 。以初始速度（initial velocity）

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20v_x%20%5C%5C%20v_y%20%5C%5C%20v_z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cdot%20x_0%20%5C%5C%20%5Cdot%20y_0%20%5C%5C%20%5Cdot%20z_0%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

和初始位置（initial displacement）在原點

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x%20%5C%5C%20y%20%5C%5C%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%200%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

推算出從原點發(fā)射的彈丸的彈道（軌跡）。

題一、推算位置矢量（displacement vector）。

題二、求解 $%20z(x)$ ，記得 y-軸上沒有運動。

【題解】

題一
空氣阻力的三維運動方程：

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20ma_x%20%5C%5C%20ma_y%20%5C%5C%20ma_z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-kv_x%20%5C%5C%20-kv_y%20%5C%5C%20-kv_z%20-%20mg%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

將方程兩邊除以質(zhì)量 $m$ ，然后定義 $%5Crho%20%3D%20%5Cfrac%7Bk%7D%7Bm%7D$ 。把加速寫成 $%5Cddot%20x%2C%20%5Cddot%20y%2C%20%5Cddot%20z%20$ :

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cddot%20x%20%5C%5C%20%5Cddot%20y%20%5C%5C%20%5Cddot%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-%5Crho%20%5Cdot%20x%20%5C%5C%20-%5Crho%20%5Cdot%20y%5C%5C%20-%5Crho%20%5Cdot%20z%20-%20g%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

求得速度矢量，對加速與時間進行積分。使用初始速度條件求解常數(shù)。

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cdot%20x%20%5C%5C%20%5Cdot%20y%20%5C%5C%20%5Cdot%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%5Cdot%20x_0%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5C%5C%0A%5Cdot%20y_0%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B-g%7D%7B%5Crho%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cdot%20z_0%20%2B%20%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cright)%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

求得位置矢量，對速度與時間進行積分。使用初始位置條件（原點）求解常數(shù)。

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x%20%5C%5C%20y%20%5C%5C%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cdot%20x_0%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cdot%20y_0%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B-g%7D%7B%5Crho%7D%20t%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cleft(%5Cdot%20z_0%20%2B%20%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cright)%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20$

題二
由 $x%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cdot%20x_0%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)$ ，得

$%20t%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cln%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cdot%20x_0%7D%7B%5Cdot%20x_0%20-%20%5Crho%20x%7D%20%5Cright)$

因此，

$z(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B-g%7D%7B%7B%5Crho%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cln%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cdot%20x_0%7D%7B%5Cdot%20x_0%20-%20%5Crho%20x%7D%20%5Cright)%0A%2B%20%5Cleft(%5Cdot%20z_0%20%2B%20%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cright)%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Cdot%20x_0%7D$

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