【模塊1】不等式與二次函數(shù)（偏基礎(chǔ)版）
小姚老師 | 2-1 不等式與二次函數(shù)
1??不等式的性質(zhì)
①對稱性：a>b?b<a
②傳遞性：a>b且b>c ?a>c
③可加性：a>b?a+c>b+c
④可乘性：a>b且c>0 ?ac >bc；a>b且c<0 ?ac<bc
⑤同向可加性：a>b且c>d ?a+c>b+d
⑥同向同正可乘性：a>b>0且c>d>0 ?ac>bd
⑦可乘方性：a>b>0 ?a? >b?（n∈N*)
類型I：用不等式性質(zhì)判斷不等式是否正確
【例1】下列說法正確的是
A. 若a>b，則 ac2>bc2【c需要>0】
B. 若a>b，c>d，則a-c>b-d【只有加號成立】
C. 若a>b，c>d，則ac>bd【都得是正數(shù)】
D. 若a>b，c>d，則a+c>b+d?
- 關(guān)注細(xì)節(jié)；
- 善用特殊值檢驗
法一：
A：代入數(shù)值后錯誤
C：你得確定c+2是正數(shù)
法二：
A：因式分解，錯誤
B：兩式做差，移項通分，因式分解看正負(fù)
D：因式分解，正確
2??一元二次不等式
看圖說話
【例3】不等式x2 +3x-4≥0的解集為
A. （-∞，-4)U(1，+∞）
B. （-∞，-4】U【1，+∞）?
C. （-4,1）
D. 【-4，1】
【變式1】若關(guān)于x的不等式x-(m+3)x +3m<0的解集中恰有2個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是
因式分解，看圖說話
分類討論
①m=3，不符合題意
②m>3，（5,6】
③m<3,【0，1）
【0,1）∪（5,6】
【變式2】若一元二次不等式x2+ax+b<0的解集為{x| -1<x<2}，則a+b=
A. -3?
B. -2
C. -1
D. 1
已知兩根，用韋達(dá)定理
a=-1，b=-2
【變式3】若不等式ax2+bx+c >0的解集是{x | -1<x<4}，則不等式b(x2-1) +a(x+3)+c>0的解集為
看圖說話
討論開口
- ①a>0，但是>0的解集都涉及到∞，不符合題意
- ②a=0，但是>0的解集都涉及到∞，不符合題意
- ③a<0，符合題意
韋達(dá)定理，求b、c
注意，因為a<0，同時除以a需要變號
不等式代入，變成了解一元二次不等式
3??一元二次方程根的分布
根據(jù)一元二次方程在某區(qū)間上根的情況求參；
①若只說有根，沒規(guī)定根的個數(shù)，則考慮參變分離，再對變量一側(cè)求值域，即可得到參數(shù)的范圍.
②若規(guī)定了根的個數(shù)，則常畫出二次函數(shù)的圖象，考慮開口、判別式、對稱軸、端點(diǎn)（特殊點(diǎn)）值.
【例4】已知關(guān)于x的方程x2+x+m=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)有實根，則實數(shù)m的取值范圍是
A. [-6,-2]
B. (-6,-2)
C. （-∞,-6]U[-2,+∞)
D. （-∞,-6)U(-2,+∞)
參變分離：g(x) =-m =x2+x
在（1，2）有解，轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問題
畫圖，2<-m<6 -6<m<-2
【變式】方程ax2+2x+1=0在(1,2)上有根，則實數(shù)a的取值范圍為
參變分離：-a =2x+1 /x2
g(x) =-a =2x+1 /x2 =f(x)
畫圖找交點(diǎn)，算f(x)的值域
同除x2，令1/x=t，變成t2+2t
5/4<-a<3 -3<a<-5/4
【例5】一元二次方程ax2+5x+4=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是
A. a<0
B. a>0
C. a<-2
D. a>1
二次不等式不能除a，因為a的正負(fù)未知
如果是一元二次方程就可以
同時除以a，那么以此項就是正的了
法一：f(0)=4/a<0 a<0
法二：△>0，x?x?<0，a<0
【變式1】若關(guān)于x的方程x2-(m+1)x +4m2=0在(0,1)，(1,2)內(nèi)各有一個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是m∈（0,1/4）.
畫圖，判斷特殊點(diǎn)正負(fù)
①f(0)>0，4m2>0，m≠0
②f(1)<0，4m2-m<0，m∈（0,1/4）
③f(2)>0，4m2-2m+2>0，m∈R
綜上m∈（0,1/4）
【變式2】方程ax2-(a+2)x +4 =0在(1,+∞)上有兩個不相等的實根，則實數(shù)α的取值范圍為0<a<6-4√2
直接除a
畫草圖
①f(1)>0，1-a+2/a+4/a>0 2/a>0 a>0
②△>0，(a+2)2/a2 -16/a>0 a2-12a+4>0 a<6-4√2或a>6+4√2
③a+2/a/2 >1，a+2>2a 2>a
