3、線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的基本原理及其參數(shù)
????????在前面兩篇博文中，我們分別從頻域和時域兩個角度介紹了常規(guī)擾動觀測器的基本原理以及設(shè)計(jì)方法。在本文中我們將介紹另一種時域下的擾動觀測器設(shè)計(jì)——擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer, ESO）。ESO最初是由韓京清教授在其提出的自抗擾控制技術(shù)中提及。
????????相比于龍伯格觀測器需要被觀測模型為線性系統(tǒng)，ESO跳出了其限制，可以對非線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)和估計(jì)。ESO的設(shè)計(jì)只需要系統(tǒng)的輸入和輸出以及系統(tǒng)的相對階次（即系統(tǒng)輸入到輸出之間的最少的積分器實(shí)現(xiàn)）。然而ESO的缺點(diǎn)是對原系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行跟蹤時需要將原系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換成積分串聯(lián)型才能進(jìn)行觀測。
????????ESO最初被提出時雖然效果不錯，但是存在兩個不利的因素，其中一個是觀測增益采用非線性函數(shù)，其參數(shù)整定比較困難，另外一個是無法從理論上保證其收斂。針對第一個問題，高志強(qiáng)教授將ESO簡化為線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Linear Extended State Observer, LESO），并提出了帶寬法進(jìn)行參數(shù)整定。針對第二個問題，郭寶珠和趙志良教授在其文章《A Novel Extended State Observer for Output Tracking of MIMO Systems With Mismatched Uncertainty》中對ESO的收斂性和穩(wěn)定性問題進(jìn)行證明。本文從實(shí)用的角度出發(fā)，主要對高志強(qiáng)教授提出的LESO的基本原理和參數(shù)設(shè)計(jì)進(jìn)行介紹。
? ? ? ? 首先，我們考慮單輸入單輸出的n階非線性系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)描述如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
式中，d(t)表示外部擾動，u(t)表示控制輸入，y(t)表示控制輸出，b表示系統(tǒng)參數(shù),f(...)表示集中擾動。
????????假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以表示為，則上述系統(tǒng)可以表示為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
????????在ESO的設(shè)計(jì)中，我們引入了一個擴(kuò)張的狀態(tài)，它的表達(dá)式如下
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?????????則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以描述為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?????????則LESO的設(shè)計(jì)如下
????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ?
式中，表示的是狀態(tài)
的估計(jì)值，而
表示的是觀測增益。
????????則觀測誤差可以表示為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
式中，表示的是系統(tǒng)各個狀態(tài)的估計(jì)值。當(dāng)
是有界時，則上述誤差方程能夠保證穩(wěn)定。通過上式，我們可以得到ESO的控制框圖如下所示。
????????為了驗(yàn)證上述理論以及介紹帶寬法的參數(shù)整定方法，我們以一個例子進(jìn)行說明
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其中，，而d在時間大于6秒時等于3。則上式寫成矩陣的形式是
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其中，
? ? ? ? ? ? ??
????????通過擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)的引入，原系統(tǒng)由原來的二階系統(tǒng)變成三階系統(tǒng)，則擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)可以表示為
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其中，觀測矩陣，則誤差矩陣關(guān)系可以表示為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
其中，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
????????則其特征多項(xiàng)式可以設(shè)計(jì)為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
????????這樣設(shè)計(jì)可以保證特征根全為負(fù)且只有一個調(diào)節(jié)參數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)的擾動比較小時
可以取得大一些，則觀測增益的表達(dá)式可以計(jì)算為
????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
????? ? 在本仿真中，我們?nèi)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Comega_0%3D20%20rad%2Fs" alt="%5Comega_0%3D20%20rad%2Fs">，仿真結(jié)果如下圖所示
????????從上述仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，LESO能夠很快的跟蹤狀態(tài)，且誤差很小。
