本文內(nèi)容主要有關(guān)于Cayley-Hamilton定理的應(yīng)用，在高代白皮書上對應(yīng)第6.2.3節(jié)

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在本站高等代數(shù)習(xí)題課的課后思考題，本文僅供學(xué)習(xí)交流

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本人解題水平有限，可能會有錯誤，懇請斧正！

祝大家新年快樂！

練習(xí)題4(18級高代II每周一題第6題)? 設(shè),我們有如下的分塊矩陣的秩為r.證明:存在可逆陣，使得

其中.

證明? 考慮分塊矩陣的列向量的極大無關(guān)組，并將其擴(kuò)張成全空間K^n的一組基，并拼成矩陣P，從而矩陣P非異.我們接下來證明由這r個向量張成的空間是A不變子空間.設(shè)是的列向量，若，則顯然在這個空間中，若，考慮A的特征多項式是一個最多n次多項式，不妨設(shè)為，由Cayley-Hamilton定理可知f(A)=O，從而可以表示為的線性組合，這也意味著仍然在這個空間中.

從而由矩陣乘法的特點，有

這也即是我們要證的存在可逆陣，使得

其中.

注? 最近參加專欄的活動要求字?jǐn)?shù)，所以我將練習(xí)題解答直接寫出，最后附上圖片格式的解答，不出意外的話，這個應(yīng)該是最近最后一期將解答以文字形式寫出的專欄，一個是太花時間，還有一個是因為公式個數(shù)有上限，并且排版比較困難，所以還是會以圖片形式給出.至于有朋友問到的電子版，會在這些所有專欄出完之后綜合成一個文檔發(fā)出，感謝支持！