如何用確定的方法理解數(shù)學(xué)上的極限概念

2022-03-24 23:44 作者:我愛計(jì)算機(jī)科學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

極限的概念是高等數(shù)學(xué)中一個最基本的概念，也是一個非常難以理解的概念，特別是對于剛接觸高等數(shù)學(xué)的學(xué)生來說，基本上都只能理解一個大概，

因?yàn)闃O限本身就是一個不確定的概念，而且教科書中關(guān)于極限的定義都是

形式的定義，這種定義本身就非常專業(yè)，也很晦澀難懂。舉個最簡單的例子，比如，

學(xué)過極限的同學(xué)都知道這個結(jié)果是正確的，但如果要他自己真正把這個問題講清楚，恐怕比較難。也許，他只能這么說：一個點(diǎn)向另一個點(diǎn)無限靠近，最后結(jié)果當(dāng)然就是等于那個點(diǎn)了。

本文嘗試從另一個角度來解釋這個問題。

首先，我們知道，在x 趨近于x0的過程中，x 會無限逼近于x0,但永遠(yuǎn)不會等于x0，

這個等式說明的是x 趨近于x0的這個無限過程的結(jié)果等于x0,而并不是說x=x0?，F(xiàn)在假設(shè)x0=0,那么，x 在趨近于x0的這個過程中，x可以等于0.1,可以等于0.01，0.001，等等，由于這個過程是沒有盡頭的，那么，x的最終數(shù)值必然是如下形式：

那又如何理解這個無限的過程呢？我們知道，0.1，0.01，0.001......等等，都分別對應(yīng)著數(shù)軸上的一個點(diǎn)，因此，這個無限趨近的過程其實(shí)就是x在數(shù)軸上一個一個點(diǎn)逐步向0這個點(diǎn)靠近的過程。那么，x軸上面有沒有最靠近0的那個點(diǎn)呢？既然我們假定數(shù)軸是由一個一個的點(diǎn)構(gòu)成的，那我們就可以肯定最靠近0的那個點(diǎn)存在，但這個點(diǎn)我們無法確定它的數(shù)值。為了理解極限這個概念，我們就不管這個a點(diǎn)能不能用數(shù)字表示，只要認(rèn)為它存在就可以了。有了這個假設(shè)的前提，再來理解極限這個概念就變得容易了。

如圖所示，我們假設(shè)a點(diǎn)是最靠近0的那個點(diǎn)，注意，0點(diǎn)和a點(diǎn)之間沒有連線，這是因?yàn)槲覀儽緛砭图僭O(shè)a是最靠近0的那個點(diǎn)，中間當(dāng)然沒有其他的點(diǎn)。如圖一所示。有了這個假設(shè)以后，我們就可以認(rèn)為，

這個極限當(dāng)x越過a點(diǎn)時，這個表達(dá)式就成立，這里假設(shè)x0=0，因?yàn)閤這個點(diǎn)的位置，只能要么用0 表示，要么用a表示?；蛘吒M(jìn)一步，我們還可以假定，0點(diǎn)和a點(diǎn)之間雖然已經(jīng)不存在其他的點(diǎn)，但我們可以認(rèn)為這兩個點(diǎn)之間仍然存在一段直線距離（這好像和前面的假設(shè)有矛盾？沒關(guān)系，我們只是為了理解極限這個概念，用不到去考慮邏輯上的問題），當(dāng)x點(diǎn)向著0點(diǎn)的方向越過0點(diǎn)和a點(diǎn)之間距離的一半的時候，那么對于x這個點(diǎn)來說，就只能用0來表示了，因?yàn)檫@段距離內(nèi)已經(jīng)沒有其他的點(diǎn)可以用來表示x這個點(diǎn)的位置了。這樣的過程也可以解釋極限值為什么是精確值。還要注意一點(diǎn)：x這個點(diǎn)永遠(yuǎn)也不能和0點(diǎn)重合，這就是極限里面說的：x可以無限趨近于x0，但卻不能等于x0。效果如圖所示。

如果按照這個方法來理解，極限是不是就變成了一個確定的概念？因?yàn)?，按照這樣的理解，極限

就可以表述為：這個極限等式當(dāng)x處于x0和最靠近它的那個點(diǎn)x1之間，且當(dāng)x處于靠近x0這一端，并且x和x0之間的距離小于x0和x1這兩者之間距離一半的時候，這個等式就成立。

按照上面的方法理解極限以后，那么導(dǎo)數(shù)的概念也好理解了。如圖所示。

當(dāng)直線P按順時針方向旋轉(zhuǎn)的時候，當(dāng)它轉(zhuǎn)到m這條線的位置時，直線m和曲線n存在最靠近切點(diǎn)a的兩個交點(diǎn)a和b,注意，是最靠近切點(diǎn)的兩個交點(diǎn)，因此兩個交點(diǎn)a,b之間也沒有連線。當(dāng)直線m再順時針旋轉(zhuǎn)一點(diǎn)點(diǎn)的時候，就和曲線n只有一個交點(diǎn)了。當(dāng)然不能旋轉(zhuǎn)過多，否則就會和曲線n的下半部分又有兩個交點(diǎn)了，其實(shí)就是此時旋轉(zhuǎn)的角度不能超過曲線下半部分最鄰近兩點(diǎn)連線和直線m這兩者分別與X軸的夾角之差。如圖所示。