鄭濤（Tao Steven Zheng) 著

【問題】

《九章算術(shù)·勾股12》

【原文】今有戶不知高、廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問：戶高、廣、袤各幾何？

【今譯】假設(shè)有一門戶，不知道它的高和廣，有一根竹竿，不知道它的長短。將竹竿橫著，有 4 尺出不去，豎起來有 2 尺出不去，將它斜著恰好能出門。問：門戶的高、廣、斜各是多少？

【題解】

設(shè)戶廣為勾 ，戶高為股 ，戶邪為弦 ，橫不出為勾弦差 ，從不出為股弦差 。《九章算術(shù)》給的解法應(yīng)用一個有趣的勾股公式：

根據(jù)圖 2，勾方的面積為 （紅色），股方的面積為 （綠色），弦方的面積為 ；黃方部分為勾方和股方相重迭的正方形，其面積為 ；相對的兩個青矩形的面積都是 。由圖 2 可見

所以

根據(jù)勾股定理 ，得

開平方即得

戶高

戶廣

戶邪

戶廣 6 尺；戶高 8 尺；戶邪 10 尺（1 丈）。

《九章算術(shù)》的答案與解法

【原文】

答曰：廣六尺，高八尺，袤一丈。

術(shù)曰：從、橫不出相乘，倍，而開方除之。所得加從不出，即戶廣；加橫不出，即戶高，兩不出加之，得戶袤。

【今譯】

答案：廣是6尺，高是8尺，斜是1丈。

解法：將豎著、橫著出不去的長度相乘，加倍，而對之開方除法。所得的結(jié)果加豎著出不去的長度，即是門戶的廣；加上橫著出不去的長度，即是門戶的高；加上兩個出不去的長度，即得到門戶的斜。