我們上初三時都學(xué)過這樣的問題：

“有一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（0,0），（-1，-1），（1,9）三點，求它的解析式”

? ? ? ? 再簡單不過了！只需設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax^2+bx+c。再將這三點的坐標帶入得到一個關(guān)于a,b,c的三元一次方程組，由它解出a,b,c就得到了解析式的結(jié)果。

? ? ? ?你可能還會想，如果是三次函數(shù)y=ax^3+bx^+cx+d，并給出了它經(jīng)過的四個點，那同樣可以用類似的方法求出解析式，沒錯，不僅如此，這種名為“待定系數(shù)法”的方法還可以推廣到更一般的問題：求經(jīng)過（n+1）個點的n次函數(shù)的解析式，解法也是類似的。

? ? ? ?然而，這種方法是有缺陷的，我們要想求出各項系數(shù)，就必須解一個(n+1)元的線性方程，次數(shù)少還好說，次數(shù)越大解起來越復(fù)雜。那有沒有一種能夠跳過這繁瑣過程，直接一步到位的方法呢？

? ? ? ?有！這就是我們今天的主角——拉格朗日插值法。我們將從最簡單的二次函數(shù)說起，帶你了解這種方法。

? ? ? ?我們先把問題用代數(shù)語言重新敘述一下：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c,當(dāng)x=m時y=n，x=p時y=q

x=r時y=s(相當(dāng)于圖像經(jīng)過點(m,n)，(p,q)，(r,s)）求次函數(shù)解析式。那你想想，不用待定系數(shù)法能直接求出解析式嗎？想想。

? ? ? ?emm，是不是毫無頭緒啊，為什么呢？因為一次要同時處理三個點，不太容易想。那能不能把三個點的問題分解成三個關(guān)于一個點的小問題呢？當(dāng)年大數(shù)學(xué)家拉格朗日提出了一種分解法，解決了這個問題，讓我們看看他是怎么做的。

? ? ? ?拉格朗日設(shè)二次函數(shù)f(x)=n*g(x)+q*h(x)+s*e(x)，其中g(shù)(x),h(x),e(x)(以下簡稱g,h,e)都是二次函數(shù)，且滿足：

? ?當(dāng)x=m時，g=1,h=e=0

? ? ? ?x=p 時，g=e=0，h=1

? ? ?? x= r?時， g=h=0, e=1

? ? ? 也就是x等于幾，對應(yīng)的函數(shù)值就為1，其余兩個取0?？梢则炞C，這樣的函數(shù)就滿足我們一開始的要求。那怎么求這三個特殊函數(shù)的表達式呢，這里我們直接給出結(jié)論。

g(x)=(x-p)(x-r)/(m-p)(m-r)

h(x)=(x-m)(x-r)/(p-m)(p-r)

e(x)=(x-m)(x-p)/(r-m)(r-p)

? ? ? ? 這樣我們就通過將f(x)分解成三個小函數(shù)的方式解決了上述問題，同樣的類似方法還可以推廣到n次多項式的問題，這里就不多說了，有興趣的同學(xué)可以查閱一下資料。好，本期專欄結(jié)束，最后給大家看一個我用軟件desmos做的示例，有興趣的可以試一下。

? ? ? ?如本文有錯漏，請第一時間評論回復(fù)我，謝謝。

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