預(yù)備知識：

1. 數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個(gè)無窮??；

3. 收斂數(shù)列必有界；

4. 有限個(gè)無窮小的和還是無窮小；

5. 有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮??；

6. 設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分點(diǎn)：在線段P1P2上求一點(diǎn)P，使得由P分成的兩個(gè)有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點(diǎn)，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點(diǎn)公式。
    

11. 矩陣乘法運(yùn)算律——

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

12. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

13. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

14. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

17. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'；

18. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。

19. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

試求下列數(shù)列（和式）{an}的極限lim an：

a.an=1/（n^2+1）^（1/2）+1/（n^2+2）^（1/2）+……+1/（n^2+n）^（1/2）；

b.an=1/（n+1）^（1/1）+1/（n^2+1）^（1/2）+……+1/（n^n+1）^（1/n）.

解：

a.

1. n/（n^2+n）^（1/2）<=an<=n/（n^2+1）^（1/2）；

2. lim?n/（n^2+n）^（1/2）=lim 1/（1+1/n）^（1/2）=1；

3. lim??n/（n^2+1）^（1/2）=lim 1/（1+1/n^2）^（1/2）=1；

4. 由夾逼原理：lim an=1.

b.

1. （n+1）=[（n+1）^k]^（1/k）

   =[n^k+n*n^（k-1）+（n-1）n*n^（k-2）/2+……+1]^（1/k）

   >=（n^k+1）^（1/k）；

2. （n^k+1）^（1/k）=n*（1+1/n^k）^（1/k）>=n；

3. n/（n+1）?<=an<=n/n=1；

4. lim n/（n+1）=lim 1/（1+1/n）=1；

5. 由夾逼原理：lim?an=1.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

互不重合的三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是存在三個(gè)均不為零的數(shù)l，m，n，使

lA+mB+nC=0，l+m+n=0.

證：

必要性——

1. 設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線.則存在實(shí)數(shù)λ，AB=λAC；

2. 對空間任意一點(diǎn)O，則（OB-OA）=λ（OC-OA），λ不為0,1；

3. 由2：（λ-1）OA+OB-λOC=0，令l=λ-1，m=1，n=-λ，則有l(wèi)+m+n=0，l，m，n均不為0.

充分性——

1. 存在三個(gè)均不為零的數(shù)l，m，n，使

   lA+mB+nC=0，l+m+n=0；

2. 由1：l=-（m+n），則-（m+n）A+mB+nC=0，m（B-A）+n（C-A）=0，AB=-n/mAC，所以AB//AC，所以A，B，C三點(diǎn)共線。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：

a.如果A與B都是n級斜對稱矩陣，那么AB-BA也是斜對稱矩陣。

b.對于任一sxn矩陣A，都有AA'，A'A是對稱矩陣。

證：

a.

1. （AB-BA）'=（AB）'-（BA）'=B'A'-A'B'=（-B）（-A）-（-A）（-B）=BA-AB=-（AB-BA），證畢。

b.

1. （AA'）'=（A'）'A'=AA'；

2. （A'A）'=A'（A'）'=A'A；

3. 因此AA'，A'A都是對稱矩陣。

到這里！