關(guān)注?哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)?每天獲得更多數(shù)學(xué)趣文

賭場(chǎng)不怕你贏，就怕你不來(lái)，因?yàn)橘€場(chǎng)游戲基本都是“久賭必輸”。很多玩家迷信“運(yùn)氣”，而經(jīng)營(yíng)賭場(chǎng)的人相信概率，這就是輸家和贏家的差別。

賭場(chǎng)應(yīng)該怎么玩？

例如輪盤(pán)賭（見(jiàn)下圖），博彩中玩家可以押任何一個(gè)數(shù)字，如果轉(zhuǎn)盤(pán)上的小球正好停在這個(gè)數(shù)字上，賭場(chǎng)賠35倍。聽(tīng)著很誘人對(duì)吧？電影《卡薩布蘭卡》中那個(gè)從歐洲逃難出來(lái)的小青年接連押中幾手22，去美國(guó)的旅費(fèi)就有了。實(shí)際情況如何呢？我們來(lái)簡(jiǎn)單分析一下。

如果只有1-36這36個(gè)數(shù)字，那么玩家每次押1元，平均每36把贏一次，贏的35元正好抵消另外35把輸?shù)腻X(qián)。但賭場(chǎng)在輪盤(pán)左邊加了個(gè)“0”，玩家的贏面變成了1/37，贏的35元不足以抵消另外36把輸?shù)腻X(qián)，賭場(chǎng)占據(jù)了1/37 = 2.70%的概率優(yōu)勢(shì)，也就是說(shuō)玩家每押100元，平均要輸2.7元。

這還是“仁慈”的歐洲式輪盤(pán)賭，美國(guó)人覺(jué)得還不夠黑，又加了個(gè)“00”。現(xiàn)在平均38把押中一次，玩家的劣勢(shì)擴(kuò)大了到5.3%。

除了押?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)字，輪盤(pán)賭還有押紅黑等其他玩法。無(wú)論是1賠35的單個(gè)數(shù)字，還是1賠1的押紅黑，賭場(chǎng)的贏面都一樣。但兩者之間仍有個(gè)重要差別：押?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)字的輸贏波動(dòng)顯然比押紅黑大的多。

此處先簡(jiǎn)單提一句：贏面和波動(dòng)性是賭博和投資中極為關(guān)鍵的兩點(diǎn)?！熬觅€必輸”的賭博最好不要碰，實(shí)在要玩就挑輸贏波動(dòng)性大的；“久賭必贏”的投資則應(yīng)該選波動(dòng)性小的。關(guān)于這個(gè)原理，后文將詳細(xì)討論。

回到賭博，絕大部分賭場(chǎng)游戲都設(shè)計(jì)的和輪盤(pán)賭類(lèi)似：賭場(chǎng)擁有概率優(yōu)勢(shì)。這些游戲中，玩家如果只玩幾手還可能靠“運(yùn)氣”贏點(diǎn)錢(qián)，長(zhǎng)期玩下去幾乎必輸，數(shù)學(xué)中稱(chēng)之為“大數(shù)定理”（Law of Large Numbers）。然而賭場(chǎng)機(jī)關(guān)算盡，還是被數(shù)學(xué)家找到了一處破綻。

賭博天才橫世出

1960年代初，一位名叫索普（Edward Thorp）的美國(guó)數(shù)學(xué)家利用剛出現(xiàn)不久的計(jì)算機(jī)找到了21點(diǎn)游戲中的機(jī)會(huì)，發(fā)展出一套通過(guò)計(jì)牌（card counting）打敗賭場(chǎng)的方法。索教授理論付諸實(shí)踐，用自己的計(jì)牌法連連大勝賭場(chǎng)，很快上了黑名單，眼看賭不成了，于是索某人干脆就寫(xiě)了一本書(shū)！然后大徹大悟，上華爾街發(fā)財(cái)去了，后來(lái)又在對(duì)沖基金領(lǐng)域闖出了一片天地。索某達(dá)人也！

這本書(shū)就是《戰(zhàn)勝莊家》（Beat the Dealer）——狂銷(xiāo)70萬(wàn)冊(cè)，榮登《紐約時(shí)報(bào)》暢銷(xiāo)書(shū)榜。這就是成為當(dāng)時(shí)賭徒們最?lèi)?ài)看的一本書(shū)了。

索普計(jì)牌法的原理并不難。先講講21點(diǎn)的規(guī)則：玩家和莊家（賭場(chǎng)）對(duì)賭，看誰(shuí)手中牌的點(diǎn)數(shù)之和更接近（但不能超過(guò)）21點(diǎn)。10，J，Q，K都算十點(diǎn)，2至9 按各自點(diǎn)數(shù)計(jì)算，A可以算1點(diǎn)也可以算11點(diǎn)。例如下面的一手牌可以算8點(diǎn)，也可以算18點(diǎn)。

牌局開(kāi)始，玩家和莊家各發(fā)兩張牌，莊家的牌一明一暗（例如下圖）。然后玩家先做決定：可以抓牌，做加倍等特殊行動(dòng)，或在任何時(shí)候選擇“停”。如果玩家超過(guò)21點(diǎn)（爆牌）就直接輸了，否則“?！焙筝喌角f家行動(dòng)。莊家不能“見(jiàn)機(jī)行事”，只能按固定規(guī)則：手中的牌達(dá)到17點(diǎn)或以上必須“?！?，否則必須抓。最后雙方比誰(shuí)的牌更接近21點(diǎn)。

此外還有個(gè)特殊規(guī)定：一張A和一張十點(diǎn)牌（10，J，Q，K）叫“黑杰克”（Blackjack），拿到者直接取勝。如果玩家拿到黑杰克，可贏取1.5倍籌碼。莊家拿到黑杰克只能贏取1倍籌碼。

很明顯，21點(diǎn)游戲中莊家和玩家各有優(yōu)勢(shì)。莊家的優(yōu)勢(shì)在“后發(fā)制人”：玩家如果先爆牌，莊家可以不戰(zhàn)而勝。而玩家的優(yōu)勢(shì)在于靈活機(jī)動(dòng)，可以根據(jù)自己的牌和莊家暴露的那張牌決定戰(zhàn)術(shù)。此外，黑杰克3：2的賠率也有利于玩家。

十點(diǎn)牌和A越多，出現(xiàn)黑杰克的機(jī)會(huì)越多，也越容易爆牌，玩家“機(jī)動(dòng)靈活”的優(yōu)勢(shì)更有價(jià)值。反之，3，4，5，6等小牌越多，爆牌的可能性越小，對(duì)莊家比較有利。索普時(shí)代的21點(diǎn)多用1副或2副撲克牌，當(dāng)牌剛洗好時(shí)，賭場(chǎng)占據(jù)0.5%左右的概率優(yōu)勢(shì)。妙處在于，隨著牌局進(jìn)行，某些時(shí)候大牌和A的比例會(huì)變高，概率會(huì)轉(zhuǎn)為對(duì)玩家有利。索普戰(zhàn)勝賭場(chǎng)的方法就是：通過(guò)計(jì)牌估算概率，當(dāng)形勢(shì)有利時(shí)下大賭注！

數(shù)學(xué)家是如何下注的呢？

形勢(shì)有利時(shí)如何下注很需要技巧。押太少了浪費(fèi)機(jī)會(huì)，押太多了“犧牲”的風(fēng)險(xiǎn)大增。什么才是不多不少的合適賭注呢？1956年，科學(xué)家凱利（John Kelly）就此發(fā)表了論文，提出了著名的凱利公式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f* = (bp - q) / b???????????其中，f* = 投注金額占總資金的比例p = 獲勝的概率q = 失敗的概率，q = 1-pb = 賠率，例如在輪盤(pán)賭中押?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)字，b = 35，押紅黑，b = 1。?上文中講到的21點(diǎn)下注問(wèn)題，假設(shè)總賭本10,000美元，玩家取勝的概率是51%，賠率1：1（實(shí)際勝率和賠率略有偏差，但相距不大），那么凱利公式給出的最佳賭注是：?$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200?我知道很多人看到數(shù)學(xué)公式就頭大，但要玩好賭博和投資沒(méi)法不用到數(shù)學(xué)。最重要的不在于帶公式計(jì)算數(shù)字，而是要弄明白公式背后真正的“意思”。?首先，公式中分子的bp - q 代表“贏面”，數(shù)學(xué)中叫“期望值”(expectation)，凱利公式指出：正期望值的游戲才可以下注，這是一切賭戲和投資最基本的道理，也就是前面講的“沒(méi)有把握，決不下注”。?其次，贏面還要除以“b”才是投注資金比例。也就是說(shuō)贏面相同的情況下，賠率越小越可以多押注。這一點(diǎn)不容易直觀理解，我們用個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。下面三個(gè)正期望值的游戲，你看看選哪個(gè)：?1. ? ? ?“小博大”：勝率20%，贏了1賠5，輸了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%2. ? ? ?“中博中”：勝率60%，1賠1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%3. ? ? ?“大博小”：勝率80%，1賠0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%?三個(gè)游戲的數(shù)學(xué)期望值一樣，都是20%，或者說(shuō)押100元平均贏20元。按大部分國(guó)人的賭性，恐怕會(huì)選“小博大”游戲吧？但是用凱利公式中的“b”一除，“小博大”游戲只能押總資金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。贏錢(qián)速度“大博小”快多了！?前面不是講過(guò)“久賭必贏的游戲應(yīng)該選波動(dòng)性小的”嗎？說(shuō)的就是這個(gè)了。?現(xiàn)實(shí)中，愛(ài)玩“小博大”的多半是賭客。誰(shuí)愛(ài)玩“大博小”呢？賭場(chǎng)！華爾街的職業(yè)投資家們很多玩的也是“大博小”，因?yàn)楸阌谑褂酶軛U（押大賭注）。?

最后，凱利公式指明了風(fēng)險(xiǎn)控制的至關(guān)重要性：即便是正期望值的游戲也不能押太大的賭注。

從數(shù)學(xué)上講，押注資金比例超過(guò)了凱利值，長(zhǎng)期的贏錢(qián)速度反而下降，還會(huì)大大增加出現(xiàn)災(zāi)難性損失的可能性。舉個(gè)極端的例子，如果你每手都押上全部資金，那么不管你贏過(guò)多少錢(qián)，只要輸一次就立刻破產(chǎn)。正所謂：辛辛苦苦幾十年，一夜回到解放前。

常言道：小賭怡情，大賭傷身?？v使是數(shù)學(xué)家也不可能永遠(yuǎn)都是勝利的。你認(rèn)為呢？

關(guān)注?哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)?每天獲得更多數(shù)學(xué)趣文