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[光線追蹤] 01 -- 淺識輻射學(xué)

2022-05-17 20:19 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

光追實際上就是計算電磁波 (光) 在場景里傳播的結(jié)果,? 所以了解電磁波如何傳播就是光追的核心內(nèi)容,? 為此需要用到輻射學(xué)的知識.? (關(guān)于插圖,? 因為是機械盲,? 完全不會用繪圖軟件,? 所以幾何圖全部手繪了,? 請多多包含)

輻射學(xué)名詞

輻射能 Q,? 單位:? 焦耳 J.? 關(guān)于輻射能也不需要多說什么,? 不是重點.

輻射通量? $%5CPhi%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20Q%7D%7B%5CDelta%20t%7D$ ,? 單位:? 瓦 (W, J?s?1).? 輻射通量定義為在一段時間里接收/放出的輻射能.

入射輻射通量密度 $E%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%5CPhi%7D%7B%5CDelta%20A%7D$ ,? 單位: W?m?2.? E 描述了空間上一個平面在一段時間內(nèi)接收的輻射能.

出射輻射通量密度 M.? 于 E 類似,? 但是描述的是放出的輻射能而不是接收的.

在繼續(xù)介紹之前需要說明的是,? E 和 M 定義了空間上的一個平面接收/放出的 Φ,? 其中這個平面不一定是物體上的平面,? 可以是空間上不存在的平面,? 當(dāng)為后者時,? E = M.? 另外輻射通量密度沒有方向限制,? 也就是接收/放出的輻射是在所有方向上的統(tǒng)計,? 這點需要跟下面的輻射度區(qū)別開.

輻射度 $L%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%5E2%5CPhi%7D%7B%5CDelta%20A%5CDelta%5Comega%7D$ ,? 單位 W?m?2?sr?1.? 其中 sr 是立體角的單位 (見下).? L 是在輻射通量密度的基礎(chǔ)上加了方向限制,? 也就是只會統(tǒng)計符合部分方向傳播的輻射通量.? 當(dāng) L 的限制角度大小 ΔΩ 趨向于 0 時,? 即定義了平行光,? 又當(dāng)限制平面大小 ΔA 趨向于 0 時,? 即定義了光線,? 所以光線定義為穿過無限小平面的平行光,? 下文除非特殊說明,? 否則統(tǒng)一使用 L 表示光線.

更多的立體角

如同一般的角是定義在二維空間上的方向,??立體角是定義在三維空間上的方向,? 并且由兩個參數(shù)給出:? 天頂角 θ (范圍: [0, π]) 和方向角 φ (范圍: [0,2π) 或 (-π, π])?(如下圖所示)

角的常用單位弧度 rad 表示角的大小 (或者角度 deg),? 而立體角使用球面度 sr 表示大小.? 并且,? 可以用單位圓表示角,? 而單位圓的周長 2π 為角的最大弧度.? 類似地,? 可以使用單位球表示立體角,? 那么單位球的表面積 4π 為立體角的最大球面度.

在光追里有時需要討論遠(yuǎn)處物體所占的立體角大小,? 如下圖所示

其中 dA 是遠(yuǎn)處物體的面積元,? n 是 dA 的法線,? d 是觀察點到 dA 的距離,? α 是 n 與觀察點到 dA 連線的夾角,? 那么 dA 在觀察點處所占的立體角 dω 為? $d%5Comega%3Dd%5E%7B-2%7D%5Ccos%5Calpha%20dA$ ,? 詳細(xì)推導(dǎo)這里就不給出了,? 大概就是先求出 dA 垂直于觀察點到 dA 連線的大小 cosαdA,? 然后應(yīng)用平方反比定理求出在單位球面上的大小 d?2cosαdA.

在方向角上的全積分為? $%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%5Cpi%20f(%5Ctheta%2C%5Cvarphi)%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta%20d%5Cvarphi$ ?可以簡記為 $%5Cint_%7B4%5Cpi%7Df(%5Comega)d%5Comega$ .? 類似地,? 在上半球方向角積分? $%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7Df(%5Ctheta%2C%5Cvarphi)%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta%20d%5Cvarphi$ 簡記為? $%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df(%5Comega)d%5Comega$ ,? 這樣可以節(jié)省大量重復(fù)的篇幅.

入射輻照度

考慮一束平行光以一定角度照射到平面上:

由簡單的幾何關(guān)系可以知道? $%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cfrac%7BdA%7D%7BdB%7D$ ,? 也就是能量集中在 dB 的光線照射到平面上時會分布在面積更大的 dA 上,? 把 dA 與 dB 的關(guān)系代入輻射度得到? $L_i%3D%5Cfrac%7Bd%5E2%5CPhi%7D%7BdA%5Ccos%5Ctheta%20d%5Comega%7D$ ,? 式中 cosθdω?表示立體角微元 dω 在 xOy 平面上的投影大小,? 所以?cosθdω 成為投影立體角.

那么根據(jù)定義,? 從方向 ω? 入射的入射輻照度為? $dE_i(%5Comega_i)%3DL_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_i%20d%5Comega$ .? 注意,? 根據(jù)習(xí)慣,? ω? 定義為從平面離開的方向,? 而不是進(jìn)入平面的方向,? 所以 -ω? 為實際光傳播的方向.

雙向反射分布函數(shù)

為了計算輻射能在與物體碰撞后的傳播,? 對于不透明物體可以使用雙向反射分布函數(shù) (BRDF) 進(jìn)行描述.? BRDF 描述了當(dāng)光線從方向 ω? 入射,? 并從方向 ω? 出射的能量分布,? 如下圖所示

不難知道,? 出射輻射度的微元應(yīng)該與入射輻射度的微元成正比,? 而這個比值可以由 BRDF 給出,? 即?? $dL_o(%5Comega_o)%3Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)dE_i(%5Comega_i)$ ,? 展開得 $dL_o(%5Comega_o)%3Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)L_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_id%5Comega_i$ ,? 根據(jù)公式可以知道?BRDF 的單位為 sr?1.

對 dL? 進(jìn)行積分就可以求出出射輻射度 L?,? 因為 BRDF 描述的是不透明對象,? 光線只從上半球射入/射出,? 所以積分范圍只包含上半球:?? $L_o(%5Comega_o)%3D%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)L_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_id%5Comega_i$ .? 這條公式就是在光追里最核心的公式了,? 它描述了輻射能如何在場景的進(jìn)行傳播.

另外 BRDF 還滿足:? 1)? $f_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)%3Df_r(%5Comega_o%2C%5Comega_i)$ ,? 這個規(guī)律是反向光線追蹤成立的條件 (更多內(nèi)容在下一篇專欄里);? 2) 多個 BRDF 的線性組合也是合格的 BRDF (只要滿足能量守恒,? 見下).

反射率

反射率定義為射入平面的輻射通量與射出平面的輻射通量的比值,? 即? $%5Crho%3D%5Cfrac%7Bd%5CPhi_o%7D%7Bd%5CPhi_i%7D%3D%5Cfrac%7BM%7D%7BE%7D$ .? 其中入射/出射輻射通量密度由 $%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7DL(%5Comega)%5Ccos%5Ctheta%20d%5Comega$ ?給出,? 結(jié)合 BRDF 里討論的內(nèi)容,? 可以給出: $%5Crho%3D%5Cfrac%7B%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7D%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)L_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_i%5Ccos%5Ctheta_od%5Comega_id%5Comega_o%7D%7B%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7DL_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_id%5Comega_i%7D$ .? 在實際上,? 光線被物體吸收后總有一部分能量被轉(zhuǎn)化為其他形式 (比如熱能),? 然后再放出光線,? 所以實際物體的反射率是不能達(dá)到 1 的,? 即? $%5Crho%3C1$ .