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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于多元時(shí)間序列滾動(dòng)預(yù)測的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

當(dāng)需要為數(shù)據(jù)選擇最合適的預(yù)測模型或方法時(shí)，預(yù)測者通常將可用的樣本分成兩部分：內(nèi)樣本（又稱 "訓(xùn)練集"）和保留樣本（或外樣本，或 "測試集"）。然后，在樣本中估計(jì)模型，并使用一些誤差指標(biāo)來評(píng)估其預(yù)測性能。

如果這樣的程序只做一次，那么這被稱為 "固定原點(diǎn) "評(píng)估。然而，時(shí)間序列可能包含離群值，一個(gè)差的模型可能比更合適的模型表現(xiàn)得更好。為了加強(qiáng)對(duì)模型的評(píng)估，我們使用了一種叫做 "滾動(dòng)原點(diǎn) "的方法。

滾動(dòng)原點(diǎn)是一種預(yù)測方法，根據(jù)這種方法，預(yù)測原點(diǎn)被連續(xù)更新，預(yù)測是由每個(gè)原點(diǎn)產(chǎn)生的（Tashman 2000）。這種方法允許獲得幾個(gè)時(shí)間序列的預(yù)測誤差，從而更好地了解模型的表現(xiàn)。

相關(guān)視頻：Python和R語言使用指數(shù)加權(quán)平均(EWMA)，ARIMA自回歸移動(dòng)平均模型預(yù)測時(shí)間序列

如何實(shí)現(xiàn)呢？

下圖描述了滾動(dòng)原點(diǎn)的基本思想。白色單元格對(duì)應(yīng)的是樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，而淺灰色單元格對(duì)應(yīng)的是前三步的預(yù)測。該圖中時(shí)間序列有25個(gè)觀測值，預(yù)測從8個(gè)原點(diǎn)開始產(chǎn)生，從原點(diǎn)15開始。模型在每次迭代中都被重新估計(jì)，并產(chǎn)生預(yù)測結(jié)果。之后，在系列的末尾增加一個(gè)新的觀測值，這個(gè)過程繼續(xù)進(jìn)行。當(dāng)沒有更多的數(shù)據(jù)需要添加時(shí)，這個(gè)過程就會(huì)停止。這可以被認(rèn)為是一個(gè)滾動(dòng)的原點(diǎn)，有一個(gè)固定的保留樣本量。這個(gè)程序的結(jié)果是產(chǎn)生了8個(gè)一到三步的預(yù)測。在此基礎(chǔ)上，我們可以計(jì)算出誤差測量方法，并選擇表現(xiàn)最好的模型。

從8個(gè)原點(diǎn)產(chǎn)生預(yù)測的另一個(gè)選擇是，從原點(diǎn)17而不是15開始（見下圖）。在這種情況下，程序一直持續(xù)到原點(diǎn)22，即產(chǎn)生最后一個(gè)三步超前預(yù)測的時(shí)候，然后繼續(xù)以遞減的預(yù)測范圍進(jìn)行。因此，兩步預(yù)測從原點(diǎn)23產(chǎn)生，只有一步預(yù)測從原點(diǎn)24產(chǎn)生。因此，我們得到8個(gè)一步預(yù)測，7個(gè)兩步預(yù)測和6個(gè)三步預(yù)測。這可以被認(rèn)為是一個(gè)滾動(dòng)的原點(diǎn)，有一個(gè)非固定的保留樣本量?？捎糜谠谛颖镜那闆r下，當(dāng)我們沒有多余的觀測值的時(shí)候。

最后，在上述兩種情況下，我們的樣本量都在增加。然而對(duì)于某些研究目的，我們可能需要一個(gè)恒定的內(nèi)樣本。下圖展示了這樣一種情況。在這種情況下，在每次迭代中，我們?cè)谙盗械哪┪苍黾右粋€(gè)觀察值，并從系列的開始刪除一個(gè)觀察值（深灰色單元）。

R實(shí)現(xiàn)：一元時(shí)間序列ARIMA案例

R實(shí)現(xiàn)了對(duì)任何函數(shù)的滾動(dòng)原點(diǎn)估計(jì)，有一個(gè)預(yù)定義的調(diào)用，并返回預(yù)期的值。

我們從一個(gè)簡單的例子開始，從正態(tài)分布生成序列。

x?<-?rnorm(100,100,10)

我們?cè)谶@個(gè)例子中使用ARIMA(0,1,1)。

predict(arima(x=data,order=c(0,1,1)),n.ahead=h

調(diào)用包括兩個(gè)重要元素：data和h。data指定了樣本內(nèi)值在我們要使用的函數(shù)中的位置。h將告訴我們的函數(shù)，在選定的函數(shù)中指定了預(yù)測的范圍。在這個(gè)例子中，我們使用arima(x=data,order=c(0,1,1))，產(chǎn)生了一個(gè)想要的ARIMA(0,1,1)模型，然后我們使用predict(...,n. ahead=h)，從該模型產(chǎn)生一個(gè)預(yù)測。

還需要指定函數(shù)應(yīng)該返回什么?？梢允菞l件平均數(shù)（點(diǎn)預(yù)測），預(yù)測區(qū)間，模型的參數(shù)。然而，根據(jù)你使用的函數(shù)返回的內(nèi)容，滾動(dòng)預(yù)測返回的內(nèi)容有一些不同。如果它是一個(gè)矢量，那么滾動(dòng)預(yù)測將產(chǎn)生一個(gè)矩陣（列中有每個(gè)原點(diǎn)的值）。如果它是一個(gè)矩陣，那么就會(huì)返回一個(gè)數(shù)組。最后，如果它是一個(gè)列表，那么將返回一個(gè)列表的列表。

我們先從predict()函數(shù)中收集條件平均值。

我們可以使用滾動(dòng)原點(diǎn)從模型中產(chǎn)生預(yù)測結(jié)果。比方說，我們想要三步預(yù)測和8個(gè)原點(diǎn)，所有其他參數(shù)的默認(rèn)值。

predro(x,?h?,?orig?)

該函數(shù)返回一個(gè)列表，其中包含我們要求的所有數(shù)值，再加上保留樣本的實(shí)際數(shù)值。我們可以根據(jù)這些值計(jì)算一些基本的誤差指標(biāo)，例如，按比例的平均絕對(duì)誤差。

apply(abs(holdo?-?pred),1,mean)?/?mean(actual)

在這個(gè)例子中，我們使用apply()函數(shù)，區(qū)分不同的預(yù)測期，并了解模型在每個(gè)預(yù)測期的表現(xiàn)。以類似的方式，我們可以評(píng)估其他一些模型的性能，并與第一個(gè)模型產(chǎn)生的誤差進(jìn)行比較。這些數(shù)字本身并不能說明什么，但如果我們把這個(gè)模型的表現(xiàn)與另一個(gè)模型進(jìn)行比較，那么我們就可以推斷出一個(gè)模型是否比另一個(gè)模型更適合數(shù)據(jù)。

我們還可以繪制來自滾動(dòng)原點(diǎn)的預(yù)測結(jié)果。

plot(Values1)

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R語言用ARIMA模型，ARIMAX模型預(yù)測冰淇淋消費(fèi)時(shí)間序列數(shù)據(jù)

左右滑動(dòng)查看更多

01

02

03

04

在這個(gè)例子中，來自不同來源的預(yù)測結(jié)果是相互接近的。這是因?yàn)閿?shù)據(jù)是平穩(wěn)的，模型是相當(dāng)穩(wěn)定的。

如果我們看一下返回的矩陣，我們會(huì)注意到它們包含缺失值。

這是因?yàn)樵谀J(rèn)情況下，保留樣本被設(shè)置為非常數(shù)。內(nèi)樣本也被設(shè)置為非常數(shù)，這就是為什么模型在每次迭代時(shí)都會(huì)對(duì)增加的樣本進(jìn)行重新估計(jì)。我們可用修改這一點(diǎn)。

predro(x,?h?,?ori?)

請(qǐng)注意，return2的值與return1的值不能直接比較，因?yàn)樗鼈兪怯刹煌钠瘘c(diǎn)生成的。這一點(diǎn)在我們繪圖時(shí)可以看出來。

plot(returned2)

如果你使用預(yù)測包中的函數(shù)，可以用以下方式修改調(diào)用和返回值。

?"forecast(ets(data)?,level=95"?c("mean","lower","upper")

多元時(shí)間序列ARIMA案例

當(dāng)你有一個(gè)模型和一個(gè)時(shí)間序列時(shí),滾動(dòng)預(yù)測的是一個(gè)方便的方法。但是如果你需要將不同的模型應(yīng)用于不同的時(shí)間序列呢？我們會(huì)需要一個(gè)循環(huán)。在這種情況下，有一個(gè)簡單的方法來使用滾動(dòng)預(yù)測。現(xiàn)在引入幾個(gè)時(shí)間序列。

對(duì)于這個(gè)例子，我們需要一個(gè)返回值的數(shù)組。

array(NA,c(3,2,3,8))

在這里，我們將有3個(gè)時(shí)間序列，2個(gè)模型和來自8個(gè)來源的3步超前預(yù)測。我們的模型將被保存在一個(gè)單獨(dú)的列表中。在這個(gè)例子中，我們將有ARIMA（0,1,1）和ARIMA（1,1,0）。

?list(c(0,1,1),?c(1,1,0))

我們從函數(shù)中返回相同的預(yù)測值，但我們需要改變調(diào)用方式，因?yàn)楝F(xiàn)在我們必須將這兩種不同的模型考慮在內(nèi)。

"predict(arima(data,Models[[i]])ahead=h)"

我們沒有直接指定模型，而是使用列表中的第i個(gè)元素。

我們還想從保留樣本中保存實(shí)際值，以便能夠計(jì)算誤差。

這個(gè)數(shù)組有3個(gè)時(shí)間序列和來自8個(gè)原點(diǎn)的3步超前預(yù)測的維度。

最后，我們可以寫一個(gè)循環(huán)并產(chǎn)生預(yù)測結(jié)果。

for(j?in?1:3)??for(i?in?1:2)predro(data,?h?,?or=8)

比較兩者在不同時(shí)間序列上的表現(xiàn)。

exp(mean(log(apply(Holdout?-?Fore??/?apply(abs(Holdout?-?Fore?))

?

因此，根據(jù)這些結(jié)果，可以得出結(jié)論，在我們的三個(gè)時(shí)間序列上，ARIMA（0,1,1）平均來說比ARIMA（1,1,0）更準(zhǔn)確。

線性回歸和ARIMAX案例

我們的最后一個(gè)例子，我們創(chuàng)建數(shù)據(jù)框并擬合線性回歸。

請(qǐng)注意，在這個(gè)例子中，lm()函數(shù)中實(shí)現(xiàn)的回歸依賴于數(shù)據(jù)框架，不使用預(yù)測范圍。

predict(lm(y~x1+x2+x3,xre),newdat

此外，函數(shù)predict.lm()返回的是一個(gè)帶有數(shù)值的矩陣，而不是一個(gè)列表。最后調(diào)用滾動(dòng)預(yù)測。

pred(y,?h?,?ori??)

在這種情況下, 我們需要在調(diào)用的數(shù)據(jù)參數(shù)中提供因變量, 因?yàn)樵摵瘮?shù)需要提取holdout的值.

predict(lm(?xreg?,new?=xreg?" predro(?$y,?h?,?or??)plot(?Return)

作為最后一個(gè)例子，我們考慮以下數(shù)據(jù)的ARIMAX模型。

并相應(yīng)地修改調(diào)用。

ourCall?<-?"predict(arima(x=data,?order=c(0,1,1),?xreg=xreg[counti,]),?n.ahead=h,?newxreg=xreg[counto,])"

考慮到現(xiàn)在我們處理的是ARIMA，我們需要同時(shí)指定數(shù)據(jù)和h。此外，xreg與之前的例子不同，因?yàn)樗F(xiàn)在不應(yīng)該包含因變量。

如果你使用ETSX模型，調(diào)用可以簡化為：

?"es(x=dat,?xreg,?h=h"

最后，上面提到的所有例子都可以并行完成，特別是當(dāng)數(shù)據(jù)非常多且樣本量很大時(shí)。

參考文獻(xiàn)

Davydenko, Andrey, and Robert Fildes. 2013. “Measuring Forecasting Accuracy: The Case of Judgmental Adjustments to Sku-Level Demand Forecasts.”?International Journal of Forecasting?29 (3). Elsevier B.V.: 510–22.?https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2012.09.002.

Petropoulos, Fotios, and Nikolaos Kourentzes. 2015. “Forecast combinations for intermittent demand.”?Journal of the Operational Research Society?66 (6). Nature Publishing Group: 914–24.?https://doi.org/10.1057/jors.2014.62.

本文摘選?《?R語言多元時(shí)間序列滾動(dòng)預(yù)測：ARIMA、回歸、ARIMAX模型分析?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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