很快??！我們終于進行到概率的基本知識部分的最為重要的內(nèi)容——條件概率了。

條件概率作為我們目前所接觸到的第一個重要的知識點，可以說同時它也是整個概率論中十分重要的一個點。條件概率在實際應(yīng)用當(dāng)中幾乎很多地方都能見得到。因此，小伙伴們可要好好掌握喲~

Chapter? One? 隨機事件與概率

1.4? 條件概率

條件概率，顧名思義，它也是概率的一個類別。但是，與一般事件的直接概率不同，條件概率之所以稱之為“條件”，就說明，它實際上是某一事件在另一事件的條件下發(fā)生的概率。例如說，事件A=“擲骰子擲出5點”在事件B=“擲骰子擲出的點數(shù)為奇數(shù)”發(fā)生的前提下發(fā)生的概率，就是一個典型的條件概率。

經(jīng)過之前幾篇專欄的介紹，我們不難求出，事件A的直接概率為1/6；而當(dāng)事件B發(fā)生了之后，由于新的樣本空間中的樣本點數(shù)發(fā)生了變化（從6減小為3），因此此時事件A再發(fā)生的概率就變?yōu)榱?/3。

再比如，我們定義事件A=“拋兩枚硬幣，結(jié)果是一正一反”，定義事件B=“拋兩枚硬幣，其中一枚是正面”。事件A的直接概率我們已經(jīng)求解過（見專欄（二）），為1/2；而當(dāng)事件B發(fā)生了之后，由于樣本空間中的“（反，反）”已經(jīng)不會再出現(xiàn)了，因此此時事件A再發(fā)生的概率就變?yōu)榱?/3。

從這兩個例子當(dāng)中，我們可以很容易地看出直接概率與條件概率的區(qū)別。同時，我們也不難歸納出：

設(shè)A與B是事件域中的兩個事件，若P(B)＞0，則稱：

為“在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率”，簡稱為條件概率。

基于這個定義，我們首先要明確的一點就是，條件概率雖然名為概率，但它到底是不是嚴(yán)格意義上的概率呢？

首先，由于條件概率是兩個直接概率之商，因此非負性不用懷疑。而由交集的性質(zhì)，我們知道，。于是，就有：

這就滿足了正則性。

最后，由事件運算的分配律，我們能夠知道：

又由事件序列的互不相容性，則事件序列也是互不相容的。故而，根據(jù)條件概率的定義，我們能推得：

這說明，條件概率滿足可列可加性。

綜上，我們終于可以肯定地說，條件概率是概率。

對條件概率的基本內(nèi)涵有了深入的了解之后，我們就可以開始研究條件概率的應(yīng)用了。

從定義式，我們首先能得到的，就是：

（前提總要保證P(B)＞0，這一點后面我們就不再重復(fù)敘述了~）

而將這個式子稍作推廣，不難得出：

（其中，）

這就是條件概率的乘法公式。

接下來，我們從條件概率所涉及到的各個部分，來對條件概率的各個性質(zhì)和公式加以研究。

首先，我們從定義當(dāng)中可以窺見，條件概率，最主要的兩個核心就是——條件，以及結(jié)果。

從條件入手，我們可以想見，如果我們不斷弱化條件（實際上就是放大事件B的范圍，比如說，從“擲出奇數(shù)”放大到“擲出奇數(shù)或偶數(shù)”，就將條件弱化了），那么結(jié)果事件A發(fā)生的概率將會逐漸接近事件A發(fā)生的本來概率，直到相等（弱化到樣本空間為條件）。

那么，我們就構(gòu)造一個事件序列，其構(gòu)成了樣本空間的一個分割。事件A是其事件域中的某一事件。那么，利用有限可加性，我們能夠直接得到：

利用條件概率的乘法公式，我們就直接得到：

這就是全概率公式。

全概率公式作為概率論中十分重要的一個公式，可以大大簡化很多問題中概率的計算。并且，它也揭示了事件的概率與條件之間的一種作用關(guān)系，從而能夠利用不同條件下的結(jié)果來推算本來的概率。

研究完了條件對條件概率的影響，我們接下來看結(jié)果能夠引導(dǎo)出什么樣的性質(zhì)和公式。

我們上面將條件不斷弱化，實際上是通過不斷地累加條件事件，使其最終擴大成為樣本空間，以此推導(dǎo)出事件A的本來概率。現(xiàn)在，我們也可以將結(jié)果事件A補全，使之成為樣本空間的一個分割中的某一事件，進而來研究該事件在條件B下的概率。

設(shè)事件A是樣本空間的一個分割中的某一事件，記為事件。這樣，其在事件B的條件下發(fā)生的概率就為：

利用全概率公式，這個式子就可以被改寫成：

這就是有名的Bayes公式。

其中，我們稱為的先驗概率，而稱條件概率為后驗概率。那么，不難理解，Bayes公式，就是在已知先驗概率的條件下，求其后驗概率的重要方法。

至此，我們已經(jīng)將條件概率的基本內(nèi)容介紹完了。不過光有單純的理論敘述，似乎大家理解和應(yīng)用起來應(yīng)該會有一定的難度。所以，接下來給大家分別舉幾個例子，來具體了解一下，全概率公式和Bayes公式到底是怎么使用的~

例1：（彩票模型）

一般而言，在彩票站的彩票箱里，總是那么幾張有獎的彩票（且不論能中多少的獎）?，F(xiàn)在，設(shè)在彩票箱里的n張彩票當(dāng)中有m張是有獎的，那么我們要問，第k（k≤n）個人摸彩票時中獎（記為事件A）的概率是多少？

我們的直覺告訴我們，概率應(yīng)該是m/n。從結(jié)果上來講，這相當(dāng)于是說，抽取彩票的人排在第幾個無關(guān)緊要，無論如何抽到中獎彩票的概率不會改變。

但事實上如何呢？是否真如我們所預(yù)期的那樣，概率就是m/n呢？

我們先來看k=2時的情況。很明顯，我們需要考慮，第一個人是否抽到了中獎彩票。如果沒有，那么，事件=“第一個人沒有抽到中獎彩票”，對于第二個抽彩票的人產(chǎn)生的影響，就是相當(dāng)于從剩下沒有獎的n-m張彩票當(dāng)中抽走了一張，此時，條件概率：

如果第一個人抽到了獎，那么，類似地，我們可以分析出，事件=“第一個人抽到了中獎彩票”的條件概率為：

這樣，利用全概率公式，事件A的概率就為：：

這初步說明我們的想法是有道理的。但是，對于任意的k≤n，這樣的結(jié)論是否都成立，顯然只有這一個例子是還不夠的。但是，既然我們已經(jīng)有了猜測的結(jié)論，那么不難想到，我們可以使用數(shù)學(xué)歸納法來證明。證明此處略去，但是很顯然，我們并沒有想錯。

這一結(jié)論切實地表明，只要我們每個人抽彩票時不知道其他人是否已經(jīng)中獎，就不會影響到我們自己中獎的概率。所以，這也告訴各位，抽獎小游戲當(dāng)中，包括很多時候抽序號也是一樣，其實不必太在意自己是第幾個去抽的，因為結(jié)果并不會有所改變~

例2：（敏感性問題調(diào)查）

敏感性問題，其實就是大家都難以啟齒去準(zhǔn)確回答的問題。一個經(jīng)典的問題就是——你有沒有看過エロティック映畫？（你猜是什么意思~）

你如果直接問出這個問題，我想任何一個人都很難直接回答出是或否。畢竟，這實在是太隱私了。

因此，我們就要想一個辦法，能夠讓大家在保證隱私的情況下配合我們的調(diào)查。這個時候，全概率公式就能起到很大的作用。

我們設(shè)置如下兩個問題：

問題1：你的生日是否在7.1之前？

問題2：你是否看過エロティック映畫？

我們預(yù)先設(shè)置好調(diào)查環(huán)境，確保大家抽中哪個問題以及做出何種回答都是只有受調(diào)查者自己清楚。（比如說，在一個沒有監(jiān)控設(shè)備的封閉室內(nèi)，獨自一人隨機抽取代表問題的標(biāo)志物，并快速放回。）我們規(guī)定，在一個盒子當(dāng)中放著兩種顏色的球，一種為紅色，另一種為白色。抽到紅色回答問題1，抽到白色回答問題2。

由于盒子里放置多少球是我們自己決定的，因此兩種顏色的球的比例我們是清楚的，不妨記為π（紅：白=π）。

這兩種問題都是一般疑問，都只需要回答是或否，因此我們收集到的結(jié)果也只會是標(biāo)記有是或否的答卷。（這也進一步保證了回答問題的私密性。）

我們假設(shè)，一次社會調(diào)查之后，我們收集到n份答卷，一共有k份回答了“是”。這樣，事件A=“抽到問卷后，回答了‘是’”的概率為k/n。（用頻率估計概率）

按照我們對問題的設(shè)置，我們就可以將條件分成兩個部分：

=“抽到了問題1”

=“抽到了問題2”

這樣，利用全概率公式，我們就得到：

其中，這兩個條件事件的概率受盒子中兩種顏色的球的比例控制，都是已知量。而對于問題1，對于大量的樣本而言，其概率理應(yīng)趨近于0.5。因此，在公式當(dāng)中，目前就只有我們希望得知的“在抽到問題2之后，回答了‘是’”的概率是未知的。

將數(shù)據(jù)代入，我們就得到：

變換一下，我們就得到：

比如說，n=1000，k=375，π=3/7，那么我們就能算出p=5/28≈17.86%。

這個結(jié)果表明，在此調(diào)查下，大概有17.86%的人看過エロティック映畫。

例3：（癌癥檢測）

醫(yī)學(xué)研究表明，對于任何疾病的化驗，其結(jié)果都有可能是錯誤的。醫(yī)學(xué)上對于癌癥的檢測，通常是針對特征產(chǎn)物甲胎蛋白來進行檢驗。（檢測出甲胎蛋白則呈陽性，反之則陰性。）社會調(diào)查顯示，某地區(qū)居民患癌癥的概率為0.0004。據(jù)當(dāng)?shù)蒯t(yī)院統(tǒng)計，患癌癥的人，檢測呈陽性的概率為99%；未患癌癥的人，檢測呈陰性的概率為99.9%。

現(xiàn)在，有一位居民感覺身體不適，去醫(yī)院自行體檢，甲胎蛋白檢測呈現(xiàn)陽性（記為事件B）。那么，他到底有多大的概率確實得了癌癥（記為事件A）呢？

很明顯，我們現(xiàn)在要求的條件概率為。利用Bayes公式，我們很容易就寫出：

等式右側(cè)的各個概率我們都是已知的，將數(shù)據(jù)代入，我們就得到：

這是一個十分意外的結(jié)果，因為它說明，即使你檢測呈陽性，你也未必就患了癌癥；相反，甚至有很大可能其實你并沒有什么事。究其原因，雖然患癌癥之后檢測基本呈現(xiàn)陽性，但是由于實際上患癌癥的人實在太少，所以占比并不大；而雖然未患癌癥的人誤診概率極低，但是因為未患癌癥的人是相當(dāng)多的，因此反而總能發(fā)現(xiàn)幾個實際上患了癌癥的陰性患者。

這也就是為什么，在流行性感冒肆虐的日子，人們總是不太能相信檢測結(jié)果的原因。因為與癌癥正相反，對于流行性感冒來說，傳染和患病的概率是很高的，反倒是暴露在這樣的氛圍當(dāng)中的未患病者很難獨善其身。因此，即使你檢測出來自己是陰性，但也沒辦法確認自己是未患病的；相反，你很可能已經(jīng)得病了，只是你自己還不知道罷了。

但是，我們可以通過一些手段來提高檢測的準(zhǔn)確率。事實上，我們可以看到，如上結(jié)果出現(xiàn)的核心問題就在于，一次檢測的準(zhǔn)確率雖然很高，但是相對應(yīng)的，在沒有任何其他了解的情況下，我們已知的患癌的概率太低，這大大降低了檢測準(zhǔn)確性的效用。如果我們能提高對人群的患癌概率的認識，那么這個問題就可以大大緩解。

比如說，如果我們已經(jīng)做了一次檢測，那么這個時候，按照我們剛才的計算結(jié)果，此時，患癌癥的概率變?yōu)?.2837。這時，我們進行第二次檢測，仍然按照上述公式代入，計算出的條件概率為：

可以見到，此時準(zhǔn)確率實際上的準(zhǔn)確率就大大提高了。

至此，我們就介紹完了所有的條件概率的公式，并初步展示了它們的重要作用。希望大家能夠充分理解這些~

思考：

1. 求以下概率：

   （1）設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，35%，5%。從中任意取出一件，結(jié)果不是三等品，求取到一等品的概率；

   （2）擲兩顆骰子，以A記事件“兩顆點數(shù)之和為10”，以B記事件“第一顆點數(shù)小于第二顆點數(shù)”，求和；

   （3）設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中任取兩件，已知一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率；

2. 求以下概率：

   （1）鑰匙掉了，掉在宿舍里、路上和教室里的概率分別為0.5、0.2和0.3，而各自被找到的概率分別是0.8、0.1和0.3。求鑰匙能夠找到的概率；

   （2）已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女比例為22:21的人群當(dāng)中隨機地挑選一人，發(fā)現(xiàn)恰好是色盲患者，求此人是男性的概率；

   （3）口袋中有一個球，不知它的顏色是黑還是白。現(xiàn)再向其中放入一個白球，然后從口袋中任意取出一個，發(fā)現(xiàn)取出的是白球，試問口袋中原來的球是白球的概率；

3. 證明：

   （1）

   ；

   （2）

   

   （3）

   

   （4）

   

   （5）

   
   

最後の最後に、ありがとうございました！