????最近，有小朋友問了我一個小學二年級的數(shù)學題，讓我百思不得其解。大家看看，你能不能做出來：

????９輛賽車的速度各不相同，它們要比快慢，但沒有計時工具，只能在賽道上比誰先誰后，而且每次最多只能有３輛車比賽。那么，最少比幾次，能保證選出最快的２輛賽車？

????我做了好半天也沒想出答案，于是我就咨詢了我的學生507（此人畢業(yè)于北京大學數(shù)學系，以前也多次幫我解答數(shù)學問題，甚是厲害），她只花了３秒鐘就告訴了我答案：５次。

5次是可行的

????507的方法是這樣的：首先每三輛車一組，分成三組比小組賽。每個小組都能排出順序。

????然后，讓三個小組的第一名進行一場決賽，就能選出真正的第一名。

????這時，決賽中的第二名和總冠軍在小組賽時的第二名，都是只輸給了總冠軍，它們倆誰快呢？還要比一下。誰贏了誰就是真正的第二名。所以，我們還需要一場附加賽。

????算起來，３場小組賽，１場總決賽，１場附加賽。一共就是５場比賽啦！

4次為什么不行

????當時，我在朋友圈里發(fā)了這個問題，許多同學都很快給出了５次的答案。不過，有兩名國際金牌，一直在討論為什么５次就是最少的，為什么４次就不行？

????后來，507又告訴了一種方法，的確可以證明４次是不行的。她采用的是圖論＋反證法的方法。

????首先，我們把問題理解為：需要從９輛車中，區(qū)分出冠軍和亞軍，我們認為這樣理解題意是合理的，而且處理起來比較方便。如果你不區(qū)分冠軍和亞軍，問題可能會稍微復雜一些。

????然后，把每一輛車看作一個點，用每一場比賽的結(jié)果進行連線，這樣就構(gòu)成了一個圖。具體來說：比賽的過程就是給三輛車排序，如果我們把相鄰成績的兩輛車用有向線段連接起來，一場比賽就會出現(xiàn)兩條線。比如，在一次比賽中，汽車１最快，汽車２其次，汽車３最慢，那么它們之間的圖應該是這樣的：

????如果舉行４場比賽，最多能夠畫出８條線。為了找到冠軍和亞軍，這８條線必須把９個點連起來，形成一個單一的、樹狀的、沒有閉環(huán)的圖，比如下面這個樣子：

????大家可以想想：如果圖不是單一的，而是分成兩支，那么就沒辦法判斷誰才是真正的第一。

????如果圖不是樹狀，而是中間存在閉環(huán)，那么就浪費了一條線，８條線絕不可能把９個點連接起來。

????下面我們要論證：用８根線，不可能保證把９個點連成我們要求的圖。

• 首先：為了找到冠軍，冠車和亞軍車一定同場競技過。因為，它們比其它車都快，如果它們沒有比賽過，都會保持不敗戰(zhàn)績，就無法區(qū)分出誰是冠軍了。它們比賽時，冠軍一定第一，亞軍一定第二，所以冠軍和亞軍之間有連線。

• 然后，為了找到亞軍，亞軍和季軍一定同場競技過。因為，除了冠軍以外，這兩輛車比其它車都要快。如果它們沒有比賽過，就無法區(qū)分出誰是亞軍。同樣的道理，亞軍和季軍之間有連線。

• 根據(jù)剛才所說，圖中不能形成閉環(huán)，既然冠軍和亞軍之間、亞軍和季軍之間一定有連線，那么冠軍和季軍之間是不可以有連線的?？墒悄阋⒁猓涸谖覀冞M行第一場比賽時，隨機選擇了三輛車，如果選擇的三輛車分別是冠軍、季軍和第四名，那么比賽后，根據(jù)我們的構(gòu)造規(guī)則，冠軍和季軍分列小組第一和第二，它們之間會做出一條連線。這樣，所有比賽結(jié)束后，冠軍、亞軍、季軍就會出現(xiàn)一個閉環(huán)。

• 大家注意：冠軍和季軍之間的這條線不是一定存在，閉環(huán)也不一定存在。但是由于最初我們?nèi)狈π畔ⅲS機選擇車輛比賽，我們不能保證冠軍、季軍和第四名不會碰在一起，我們也無法保證避免閉環(huán)的出現(xiàn)。而一旦出現(xiàn)閉環(huán)，就不可能用８條線把９個點連成一個單一的樹狀圖，也就不能判斷出冠軍和亞軍了。

整個的邏輯過程是這樣的：

????綜上所述，８條線不能保證把９個點連成滿足條件的圖，所以４場比賽也不能保證從９輛車中找到冠軍和亞軍，５次比賽是最少情況。你看，一個小學二年級問題，居然連圖論和反證法都用上了。

還能再給力一點嗎？

????我們能讓這個問題變得更加普遍一些嗎？

????比如：如果有ｎ2輛車，每次比賽只有ｎ輛車參賽，在沒有計時工具的情況下，至少比賽多少次，才能保證找到第一名和第二名？

????這個問題很簡單，方法也是類似的，你可以思考一下再往下看。

????首先進行小組賽：每場比賽ｎ輛車，共有ｎ場比賽。按照剛才的構(gòu)造方法，我們能把每一小組的賽車排序，并且進行連線。

????然后，我們再讓每場小組賽的第一名進行一場總決賽，找到冠軍。

????最后，冠軍小組賽時的第二名和總決賽的第二名，再進行一場附加賽，找到亞軍就好了。比如下面這種情況：

????最終，我們通過ｎ場小組賽、１場總決賽、１場附加賽，找到了冠軍和亞軍，一共需要ｎ+2場比賽。

????你能證明ｎ+2是最少的情況嗎？方法和剛才一樣:

• 如果只需要ｎ+1場比賽，每一場比賽只能對ｎ輛車排序，能連n-1條線，所以所有比賽一共能夠連(n+1)(n-1)＝ｎ2-1條線。

• 用ｎ2-1條線，連接ｎ2個點，找到冠亞軍，必須畫出一個單一、樹狀、無閉環(huán)的圖。

• 可是，根據(jù)９輛車時同樣的道理，冠軍、亞軍、季軍之間有可能出現(xiàn)閉環(huán)。

• 所以，用ｎ+1場比賽，無法保證找到冠亞軍。ｎ+2是問題的解。

這個小學二年級數(shù)學題，可能很多同學都能想到答案。只是要證明它，的確不是一件容易的事。而且，到目前為止，我們還沒有找到這個問題的一般答案，如果你愿意的話，可以由淺入深的思考以下問題。事先聲明，除了前兩個問題我找到了答案，后面兩個還沒有思考出來。

• 問題１：如果有ｎ2輛車，每次比賽最多有ｎ輛車，那么最少比賽多少次，才能保證找到冠軍、亞軍和季軍？

• 問題2：如果有ｎ?輛車，每次比賽最多有ｎ輛車，那么最少比賽多少次，才能保證找到冠軍和亞軍？

• 問題3：如果有ｎ輛車，每次比賽最多ｍ輛車（ｍ＜ｎ），那么至少比賽多少次，才能保證找到冠軍和亞軍？

• 問題4：如果有ｎ輛車，每次比賽最多ｍ輛車（ｍ＜ｎ），要確定前ｋ輛車的排名（ｋ＜ｎ），至少要比賽多少場？

????如果你都想出來了，你至少達到了小學三年級水平。