剛體運(yùn)動(dòng)中變換矩陣的逆的說明

2023-03-30 14:59 作者:-黃油雞蛋卷- 0人讀過 | 我要投稿

外參矩陣是由一個(gè)點(diǎn)在某一坐標(biāo)系下的坐標(biāo) $(x_1%2Cy_1%2Cz_1)%5ET$ 轉(zhuǎn)到另一個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo) $(x_2%2Cy_2%2Cz_2)%5ET$ 的轉(zhuǎn)換矩陣，其構(gòu)成如下：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ax_1%20%5C%5C%20y_1%20%5C%5C%20z_1%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AR_2%20%26%20T_2%5C%5C%0A0%20%26%201%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D_%7B4%20%5Ctimes%204%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ax_2%20%5C%5C%20y_2%20%5C%5C%20z_2%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

剛體坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換就涉及旋轉(zhuǎn)和平移兩個(gè)部分組成，其中R代表旋轉(zhuǎn)矩陣（3X3），T是平移矩陣（3X1），矩陣的第四行是為了配平移矩陣出現(xiàn)的，所以不用去管它。

對于坐標(biāo)系1到坐標(biāo)系2有這樣的關(guān)系，那么同理，從坐標(biāo)系2到坐標(biāo)系1應(yīng)該也會(huì)有相應(yīng)的矩陣，也就是說等式兩邊同時(shí)左乘外參矩陣，即：

易知這兩個(gè)外參矩陣是互為逆矩陣的，也即：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AR_1%20%26%20T_1%5C%5C%0A0%20%26%201%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AR_2%20%26%20T_2%5C%5C%0A0%20%26%201%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AR_1R_2%20%26%20R_1T_2%2BT1%5C%5C%0A0%20%26%201%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20E$

對于旋轉(zhuǎn)矩陣來說，旋轉(zhuǎn)矩陣的逆等于其轉(zhuǎn)置 $R_1R_1%5ET%3DE$

所以通過上面的矩陣關(guān)系，我們就可以求出R2, T2:

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0AR_2%20%3D%20R_1%5ET%20%5C%5C%0AT_2%20%3D%20-R_1%5ETT_1%0A%5Cend%7Bcases%7D$

也就是說，當(dāng)我們轉(zhuǎn)換兩個(gè)坐標(biāo)系的外參矩陣的時(shí)候，旋轉(zhuǎn)矩陣變成了原來的旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，這一點(diǎn)很好理解，但是用來平移的矩陣卻變成了 $T_2%20%3D%20-R_1%5ETT_1$ ?，這里很多人就會(huì)疑惑了，為什么不是和旋轉(zhuǎn)類似，我左移五步，倒過來我不應(yīng)該是右移五步嗎？

現(xiàn)在我們就從源頭上來解釋一下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之間的關(guān)系，解釋完之后平移矩陣為什么會(huì)變成這樣就很好理解了：

首先我們對于向量而言，向量的表示可以由基和坐標(biāo)組成，我們?nèi)稳】臻g中的兩組正交基以及其對應(yīng)的坐標(biāo)，就會(huì)有：

$%5Cvec%7Ba%7D%20%3D%20(e_1%2Ce_2%2Ce_3)%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0Ax_1%20%5C%5C%0Ay_1%20%5C%5C%0Az_1%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%0A(e%5E%7B'%7D_1%2Ce%5E%7B'%7D_2%2Ce%5E%7B'%7D_3)%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0Ax_2%20%5C%5C%0Ay_2%20%5C%5C%0Az_2%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D$

我們對于上面的等式，兩邊同時(shí)左乘 $(e_1%5E%7B'T%7D%2Ce_2%5E%7B'T%7D%2Ce_3%5E%7B'T%7D)%5ET$ ,會(huì)得到

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0Ax_2%20%5C%5C%0Ay_2%20%5C%5C%0Az_2%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0Ae_1%5E%7B'T%7De_1%20%26%20e_1%5E%7B'T%7De_2%20%26%20e_1%5E%7B'T%7De_3%20%5C%5C%0Ae_2%5E%7B'T%7De_1%20%26%20e_2%5E%7B'T%7De_2%20%26%20e_2%5E%7B'T%7De_3%20%5C%5C%0Ae_3%5E%7B'T%7De_1%20%26%20e_3%5E%7B'T%7De_2%20%26%20e_3%5E%7B'T%7De_3%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0Ax_1%20%5C%5C%0Ay_1%20%5C%5C%0Az_1%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A$

里面的大矩陣，就是我們的旋轉(zhuǎn)矩陣了，也就是 $%24R_1%24$ , 但是我們要注意的是，這里的 $(x_1%2Cy_1%2Cz_1)%5ET$ ?和 $(x_2%2Cy_2%2Cz_2)%5ET$ ?都是向量的坐標(biāo)。

向量有個(gè)特點(diǎn)，你把他平移到各處，他的坐標(biāo)還是原來的坐標(biāo)，是不會(huì)因?yàn)橄蛄康奈恢米兓兓?/span>。

為了解釋起來方便，我建立了一個(gè)二維的示意圖如下所示，我們?nèi)藶榈淖屗蟮南蛄縜的起始點(diǎn)與坐標(biāo)系 (i,j)的原點(diǎn)重合，這樣向量a的坐標(biāo)就和向量頂點(diǎn)所在的那個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系 $(i%2Cj)$ ?中的坐標(biāo)相同，都是 $%EF%BC%88x_1%2Cy_1%2Cz_1%EF%BC%89%5ET$

我們假設(shè)向量a在 $(i%5E%7B'%7D%2Cj%5E%7B'%7D)%20$ 中的坐標(biāo)（注意是向量的坐標(biāo)！）為 $%EF%BC%88x_2%2Cy_2%2Cz_2%EF%BC%89%5ET$ ?, 那么我們就會(huì)有：

但是我們要求的是點(diǎn)相對于坐標(biāo)系 $(i%5E%7B'%7D%2Cj%5E%7B'%7D)%20$ 的坐標(biāo)，而不是向量相對于坐標(biāo)系的坐標(biāo)，也就是：

$%5Cvec%7Ba%7D%0A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0Ax_2%20%5C%5C%0Ay_2%20%5C%5C%0Az_2%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0AX_2%20%5C%5C%0AY_2%20%5C%5C%0AY_2%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20-%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0AX_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%0AY_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%0AZ_%7BOi%2Cj%7D%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D$

我們要求的就是：

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0AX_2%20%5C%5C%0AY_2%20%5C%5C%0AY_2%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%0A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0Ax_2%20%5C%5C%0Ay_2%20%5C%5C%0Az_2%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%2B%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0AX_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%0AY_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%0AZ_%7BOi%2Cj%7D%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A$

所以這里我們就能看出，我們的平移矩陣 $T_1$ 就是 $(i%2Cj)$ 坐標(biāo)系的原點(diǎn)在 $%EF%BC%88i%5E%7B'%7D%2Cj%5E%7B'%7D%EF%BC%89$ 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；

那么相應(yīng)的，如果我們將兩個(gè)坐標(biāo)系反過來，求這個(gè)外參矩陣的逆矩陣之后，平移矩陣就會(huì)變成

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0AX_%7BOi'%2Cj'%7D%20%5C%5C%0AY_%7BOi'%2Cj'%7D%20%5C%5C%0AZ_%7BOi'%2Cj'%7D%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D$

這樣的話其實(shí)就是說：

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0AX_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%0AY_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%0AZ_%7BOi%2Cj%7D%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3DT_1%20%5C%5C%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0AX_%7BOi'%2Cj'%7D%20%5C%5C%0AY_%7BOi'%2Cj'%7D%20%5C%5C%0AZ_%7BOi'%2Cj'%7D%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20T_2%20%3D%20-R_1%5ETT_1%0A$

為什么是這個(gè)值呢，我們來根據(jù)上面的理論來計(jì)算一下：

現(xiàn)在我們把向量a這樣畫：

那么向量a在 $%EF%BC%88i'%2Cj'%EF%BC%89$ 中的坐標(biāo)就是 $T_1%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20X_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%20Y_%7BOi%2Cj%7D%20%5C%5C%20Z_%7BOi%2Cj%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ,

根據(jù)向量坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，向量a在 $%EF%BC%88i%2Cj%EF%BC%89$ 中的坐標(biāo)就等于

$%5Cvec%20a%20%3D%20R_2T_1$

再者，如果我們?nèi)∠蛄縝如圖所示：

那么向量b在 $%EF%BC%88i%2Cj%EF%BC%89$ 中的坐標(biāo)就是 $T_2%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20X_%7BOi'%2Cj'%7D%20%5C%5C%20Y_%7BOi'%2Cj'%7D%20%5C%5C%20Z_%7BOi'%2Cj'%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$ , 而且a和b是互為反向量。