正交表是一種用于多因素實驗設計的表格。它可以幫助我們在盡可能少的試驗次數(shù)下確定各個因素對結果的影響，從而提高實驗效率。接下來將從以下幾個方面介紹正交表的相關內容。

一、正交表基本概念

正交表是一種特制的表格，用于多因素實驗設計研究。根據正交表的正交性，可以從全面試驗中挑選盡可能少有代表性的組合進行實驗，這些組合具有“均衡分散、整齊可比”的特點。“均衡分散”使得試驗點具有代表性；“整齊可比”便于實驗數(shù)據進行分析。通過正交表進行試驗，可以大大節(jié)省實驗的人力、物力和時間成本，便于確定各個因素對實驗結果的影響，從而提高實驗效率。

二、正交表的構成

（1）因數(shù)與水平

在理解正交表的構成之前，需要先理解進行正交試驗因素與水平的概念。

因素：指實驗中的變量；例如溫度、時間、催化劑種類，共三因素。

水平：指實驗因素的不同取值；例如溫度分為30℃、50℃、80℃，那么代表溫度這個因素是三水平。

通常形容正交試驗時，直接說進行幾因素幾水平正交試驗，例如三因素三水平正交試驗。

（2）表示形式

正交表通常表現(xiàn)形式為：L_{行數(shù)}~(水平數(shù)~^{因素數(shù)})

L表示正交表，行數(shù)表示需要進行的實驗次數(shù)；因素數(shù)代表實驗中變量的個數(shù)，即正交表中列的個數(shù)；水平數(shù)代表每個因素的水平數(shù)。其中行數(shù)=因素數(shù)*（水平數(shù)-1）+1

舉例說明：例如正交表L_{9}~(3~^{4})，L右下角數(shù)字“9”表示有9行，即需要做9次實驗。括號內指數(shù)“4”代表有4列，即最多可觀察4個因素。括號內數(shù)“3”表示每個因素均為3水平，即表的主體部分只有數(shù)字1,2,3，分別代表水平1,2,3。四因素三水平試驗如果進行全面試驗需要進行3~^{4}=81次實驗，而進行正交試驗只需要進行9次即可，大大增加了實驗效率。四因素三水平正交設計表如下圖所示：

圖1

當正交表中各個因素的水平數(shù)不同時，此時稱它為混合型正交表，例如正交表L_{8}~(4~^{1}2~^{4})，表示在此表的5列中，有1列為4水平，4列為2水平。

三、正交表的性質

正交表必須同時滿足以下兩個性質：

①整齊可比性——每一列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等

即每個因素的每個水平出現(xiàn)的次數(shù)是完全相同的。由于在試驗中每個因素的每個水平與其他因素的每個水平參與試驗的機率是相同的，這就保證了再各個水平中最大程度的排除了其他因素水平的干擾，能最有效的進行比較，進而容易找到最優(yōu)的實驗條件。

例如在圖1四因素三水平正交試驗表中，每一列中數(shù)字1,2,3出現(xiàn)的次數(shù)都是3次，滿足整齊可比性。

②均衡分散性——任意兩列的數(shù)字排列方式齊全且均衡

即任意兩個因素的水平搭配是完全相同的（任意兩列橫向組成的數(shù)字對中，每對數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等）。這樣就保證了實驗條件均衡地分散在因素水平的完全組合中，具有很強的代表性。

例如在圖1的三水平試驗中，任意兩列數(shù)字對共有9種，（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3），且每對出現(xiàn)均數(shù)相等。

四、正交表的生成

正交表的設計需要用到組合數(shù)學和概率學知識，手動設計正交表耗時費力，目前很多軟件都能在線生成正交表，接下來介紹如何使用在線數(shù)據分析軟件SPSSAU快速生成正交表。

SPSSAU提供兩種方式生成正交表，說明如下：

（1）自動生成正交表

在【試驗/醫(yī)學研究】模塊，選擇分析方法【正交試驗】，依次選擇因子（因素）個數(shù)和水平數(shù)，點擊開始分析即可得到最接近的正交表。以三因素三水平為例，操作如下圖：

圖2

此時SPSSAU輸出三因素三水平正交設計表如下圖：

（2）自選正交表

如果知道自己需要什么樣的正交表，可通過自選正交表生成?？梢韵吕x擇常用正交表：

圖3

或者輸入正交表ID，當前SPSSAU共提供183種正交表，可點擊“下載按鈕”查看SPSSAU正交表手冊，展示部分如下圖：

圖4

（3）正交表修改

由軟件自動提供正交表后，很可能并不滿足完全滿足預期，因此需要進行以下處理。

①如果有超出的多余因子，直接刪除即可；由于正交表任意兩列之間均滿足正交性，所以刪除某列后并不影響。

②‘擬水平法’：如果某因子的水平數(shù)比預期多，比如生成正交表的因子1有5個水平，但只需要4個水平；那么此時把多出的數(shù)字5（第5個水平），直接用其它4個水平中任意一個或多個替換填補即可。此種處理叫‘擬水平法’。‘擬水平法’在正交表改造處理中非常常見，但‘擬水平法’后，可能就不再具有正交表特性，這是非常正常的；

③‘組合法’：比如考慮2水平，4水平，8水平；并不需要一定使用2.1.4.1.8.1；而是使用比如L12.2.11（因為2水平有16個，可拆分成：2，2*2，2*2*2，共用掉6個因子，都還余5個因子沒有使用直接刪除即可），組合法是一種正交表獲取的技巧操作法，該操作法是在正交表生成前自行處理和選擇，以及‘組合法’對于正交性沒有任何影響，只是一種手工選擇正交表的技巧做法；

④‘并列法’：指把兩列或多列，合并成1列，比如有兩個因子其中1個為2水平另1個為3水平；把兩個因子合并變成2*3=6水平；‘并列法’是自主手工選擇正交表的一種技巧式做法，‘并列法’后正交性還在。

五、正交實驗設計與分析步驟

進行多因素正交試驗設計與分析的通常步驟如下：

①確定因素與水平（與實驗設計相關）；

②使用軟件生成相應正交表（SPSSAU可快速生成正交表）；

③根據正交表進行正交試驗，得到試驗結果；

④使用極差分析或方差分析對試驗進行分析，得到最優(yōu)試驗條件。