孿生素數(shù)有無窮多

????????????????????崔 坤

中國山東青島即墨, 266200,??E-mail：cwkzq@126.com

摘要：孿生素數(shù)猜想正式由希爾伯特在1900年國際數(shù)學(xué)家大會的報告上的第8個問題中提出，可以這樣描述：

存在無窮多個素數(shù)p，使得p + 2是素數(shù)，素數(shù)對（p, p + 2）稱為孿生素數(shù)

關(guān)鍵詞：孿生素數(shù)，奇素數(shù)，恒等函數(shù)

中圖分類號：O156??????????????文獻標(biāo)識碼：A

Cui Kun

266200,Jimo, Qingdao, Shandong, China??E-mail:?cwkzq@126.com

There are infinitely many twin prime pairs

abstract ：

The twin prime conjecture was formally proposed by Hilbert in the 8th question of the report of the International Congress of Mathematicians in 1900, It can be described like this: there are infinitely many prime numbers p, such that p + 2 is a prime number, and the prime number pair (p, p + 2) is called a twin prime number

key words:Twin primes, odd primes, identity functions

證明：

引理：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特已經(jīng)徹底地證明了的三素數(shù)定理：

每個大于等于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和，每個奇素數(shù)都可以重復(fù)使用。

它用下列公式表示：Q是每個≥9的奇數(shù)，奇素數(shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3 根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見：有且僅有q3=3時，Q-3=q1+q2，

否則，奇數(shù)9，11，13都是三素數(shù)定理的反例。

即每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和

推論Q=3+q1+q2，即每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和。

我們運用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素數(shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：

第一步：當(dāng)n=1時 ，Q1=9 時 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時，Qk=3+qk1+qk2成立,（奇素數(shù)：qk1≥3，qk2≥3）

第三步：當(dāng)n=k+1時,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2,

此時有且僅有2種情況：

A情況:qk1+2不為素數(shù)，或者qk2+2不為素數(shù)，再或者(qk1+2)與(qk2+2)同時不為素數(shù)時，

Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個奇素數(shù)之和，

這也就同步證明了每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和

即與“每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和”是等價的

即Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4，（奇素數(shù)：qk3≥3，qk4≥3）

B情況:

(1)若qk1+2為qk1的孿生素數(shù)P,

則：Qk+2=3+P+qk2,即每個大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

(2) 若qk2+2為qk2的孿生素數(shù)P”,

則：Qk+2=3+P”+qk1，即每個大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

綜上所述，對于任意正整數(shù)n命題均成立，

即：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

結(jié)論：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和，Q=3+q1+q2，

（奇素數(shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

孿生素數(shù)有無窮多

證明：

設(shè)奇數(shù)Q≥9，奇素數(shù)q1≥3，奇素數(shù)q2≥3，

奇素數(shù)q3≥3，奇素數(shù)q4≥3，則：

根據(jù)引理：當(dāng)Q≥11時：

Q=3+q1+q2

Q=5+q3+q4，則：q1+q2≡2+q3+q4

q1+q2≡（2+q3）+q4≡q3+(2+q4)

根據(jù)解析恒等函數(shù)的性質(zhì)可知：

q1=2+q3,q2=q4

或者：

q2=2+q4,q1=q3

由于Q無窮多，故q1=2+q3,或者q2=2+q4無窮多，故孿生素數(shù)有無窮多。

例如：

105=3+3+97+2=3+5+97，??【3+97+2=5+97】，??（3，5）??是孿生素數(shù)

105=3+11+89+2=3+13+89；【11+89+2=13+89】，（11，13） 是孿生素數(shù)

105=3+17+83+2=3+19+83；【17+83+2=19+83】，（17，19） 是孿生素數(shù)

105=3+29+71+2=3+31+71；【29+71+2=31+71】，（29，31） 是孿生素數(shù)

105=3+41+59+2=3+43+59；【41+59+2=43+59】，（41，43） 是孿生素數(shù)

105=3+47+53+2=5+47+53；

結(jié)論：孿生素數(shù)有無窮多

參考文獻：

[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]

原創(chuàng)作者：崔坤

2022年6月26日于即墨