什么是公平？

在生活中我們會(huì)遇到各種紛爭(zhēng)，小時(shí)候和兄弟姐妹爭(zhēng)搶一份蛋糕，長(zhǎng)大了到單位和同事互相舉報(bào)。世界上的許多紛爭(zhēng)，都來(lái)源于“不公平”和“嫉妒心”。

“不公平”就是感覺(jué)自己應(yīng)得的沒(méi)有得到，“嫉妒心”就是雖然自己得到了應(yīng)得的，但是其他人得到的更多。如果設(shè)計(jì)一種方案，讓每一個(gè)人都感覺(jué)自己拿到了最多的利益，紛爭(zhēng)就會(huì)少很多。就好像把一個(gè)蛋糕分給幾個(gè)人，如何才能讓所有人都滿意呢？

最近我看了一本書(shū)《如何切蛋糕以及其他數(shù)學(xué)問(wèn)題》，頗受啟發(fā)。許多管理者也許可以借鑒這個(gè)方法，一些社會(huì)矛盾也可以因此化解。下面，就讓我?guī)е蠹伊私庖幌隆扒械案鈫?wèn)題”吧！

一. 兩人分蛋糕：我切你選

兩個(gè)小孩分一塊蛋糕，如果父母幫著切，經(jīng)常會(huì)有孩子大喊：他的那一塊比我的大。甚至有的時(shí)候，兩個(gè)孩子都這樣喊。

這時(shí)我們可以這樣做：讓一個(gè)孩子決定如何把這塊蛋糕切成兩份，讓另一個(gè)孩子先選。切蛋糕的孩子為了不吃虧會(huì)盡量把蛋糕分得均勻，選蛋糕的孩子具有優(yōu)先權(quán)，誰(shuí)也不會(huì)覺(jué)得吃虧了。這就是經(jīng)典的“我切你選”方式。

讓我們舉一個(gè)更生活化的例子：一位老人去世了，留下了一套房產(chǎn)和一百萬(wàn)現(xiàn)金，老人有兩個(gè)兒子，但并沒(méi)有留下遺囑。于是，兄弟倆決定對(duì)房子進(jìn)行評(píng)估，然后把包括房產(chǎn)和現(xiàn)金的總遺產(chǎn)平分。

不過(guò)，在評(píng)估房產(chǎn)價(jià)格時(shí)，兄弟倆產(chǎn)生了不同的意見(jiàn)——想要房子的哥哥把房產(chǎn)價(jià)格評(píng)估得很低，這樣他除了拿到房子，還可以獲得一大筆錢(qián)；不想要房子的弟弟把房產(chǎn)價(jià)格評(píng)估得很高，如果哥哥要房子，還要補(bǔ)償?shù)艿芤还P錢(qián)。這可怎么辦？

其實(shí)這個(gè)問(wèn)題不難解決，采用經(jīng)典的“我切你選”的方式就可以了。首先，哥哥將房產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行評(píng)估，然后將總財(cái)產(chǎn)分成兩份。一份包含房產(chǎn)和一部分現(xiàn)金，另一部分完全是現(xiàn)金。然后，讓弟弟先選繼承哪一份，剩下的一份留給哥哥。

對(duì)于哥哥來(lái)講，他知道自己是后選擇的，為了防止吃虧，他必須將遺產(chǎn)分配得盡量公平。如果一邊明顯占優(yōu)，弟弟完全可以選擇這一份更優(yōu)厚的遺產(chǎn)，讓哥哥吃虧。

假如哥哥剛好要結(jié)婚買(mǎi)房，他去市場(chǎng)上看了一圈，發(fā)現(xiàn)買(mǎi)相同的房子大約需要50萬(wàn)元，于是他就會(huì)把房子和25萬(wàn)現(xiàn)金作為一份遺產(chǎn)，把另外75萬(wàn)現(xiàn)金作為另外一份遺產(chǎn)，這兩份遺產(chǎn)對(duì)哥哥來(lái)講，效用都是1/2。無(wú)論弟弟如何選擇，哥哥都不會(huì)感到吃虧。

對(duì)于弟弟來(lái)說(shuō)，也許他在國(guó)外讀大學(xué)，以后也不準(zhǔn)備回老家工作了，所以這個(gè)房子的作用不大，他更需要錢(qián)維持自己在國(guó)外的學(xué)業(yè)。于是他評(píng)估：老人的房子只值25萬(wàn)，這樣，第一份遺產(chǎn)對(duì)弟弟來(lái)講就值50萬(wàn)，第二份遺產(chǎn)有75萬(wàn)，效用分別是2/5和3/5，顯然，弟弟會(huì)選擇第二份遺產(chǎn)，把第一份遺產(chǎn)留給哥哥。

兄弟二人都覺(jué)得自己拿到了至少1/2的遺產(chǎn)，這就是“公平”，而且，別人拿到的都不比自己更多，這就是“無(wú)嫉妒”。由于兩人對(duì)房產(chǎn)價(jià)值的看法不同，弟弟還覺(jué)得自己比哥哥多拿了不少，非但不會(huì)有紛爭(zhēng)，反而因?yàn)閮?nèi)心慚愧而讓兄弟關(guān)系變得更加和睦。

這種“我切你選”的方法，從幾千年前就已經(jīng)有人采用了。比如《圣經(jīng)》中有這樣的記載：亞伯拉罕與洛特分配迦南之地，為了公平，亞伯拉罕把這塊地分為東西兩塊，并讓洛特先選。

另一個(gè)應(yīng)用是在《聯(lián)合國(guó)海洋法公約》里。發(fā)達(dá)國(guó)家具有對(duì)公海礦藏進(jìn)行開(kāi)采的能力，但是公海礦藏應(yīng)該屬于全人類(lèi)。于是，聯(lián)合國(guó)設(shè)計(jì)了這樣一種方案：如果有國(guó)家申請(qǐng)對(duì)公海區(qū)域進(jìn)行礦產(chǎn)開(kāi)發(fā)，需要提交兩個(gè)類(lèi)似區(qū)域的評(píng)估報(bào)告，聯(lián)合國(guó)將在兩個(gè)區(qū)域中選擇一個(gè)，保留給發(fā)展中國(guó)家，另一個(gè)允許發(fā)達(dá)國(guó)家進(jìn)行開(kāi)采。為了自身利益，發(fā)達(dá)國(guó)家必須公正地分割區(qū)域，并如實(shí)提交報(bào)告——否則，聯(lián)合國(guó)可能選擇那個(gè)礦產(chǎn)資源更豐富的海域保留給發(fā)展中國(guó)家。

一個(gè)好的制度，不光能讓人說(shuō)實(shí)話，還能讓所有人都覺(jué)得自己占了便宜?，F(xiàn)在，你應(yīng)該了解如何讓兩個(gè)人分配利益了。

二. 三人切蛋糕：公平但是有嫉妒

現(xiàn)在我們把問(wèn)題升級(jí)：假如三個(gè)人要分一塊蛋糕，又該怎么做呢？1961年，數(shù)學(xué)家杜賓斯和斯巴尼爾提出了一種“移動(dòng)刀法”，可以讓三人“公平的”分蛋糕。

假如蛋糕是一個(gè)長(zhǎng)條，左側(cè)有更多的草莓，而右側(cè)有更多的奶油。現(xiàn)在讓一個(gè)人拿著刀，緩慢地從左向右移動(dòng)，三個(gè)等著分蛋糕的小朋友A、B和C緊緊盯著刀的位置，計(jì)算著自己最喜歡的蛋糕部分。

突然，小朋友A喊“停”！于是刀就在這里切下一塊，并把這一塊分給喊停的小朋友。隨后，刀口繼續(xù)移動(dòng)，小朋友B又喊了一聲“停”，刀又會(huì)在這兒切下一塊給B，余下的一塊就是C拿到的蛋糕了。

讓我們來(lái)分析一下三個(gè)人的內(nèi)心活動(dòng)：每個(gè)人都希望自己拿到不少于1/3的蛋糕，這才是公平的。

A可能特別喜歡草莓，而草莓位于蛋糕的左邊。當(dāng)?shù)兑苿?dòng)時(shí)，A看到自己喜歡的部分被包含進(jìn)來(lái)，內(nèi)心激動(dòng)萬(wàn)分，當(dāng)他認(rèn)為這一部分的蛋糕效用已經(jīng)超過(guò)了1/3時(shí)，就會(huì)迫不及待地喊停，他已經(jīng)不吃虧了。

B對(duì)草莓和奶油具有同樣的喜好，當(dāng)A喊停時(shí)，在B的眼中，這一塊蛋糕只1/4的效用，所以B會(huì)選擇繼續(xù)等待。A拿走第一塊后，B認(rèn)為余下的蛋糕還有3/4，只剩下2個(gè)人，每人一半，自己可以拿到3/8。當(dāng)?shù)犊谝苿?dòng)到余下的蛋糕一半的位置時(shí)，B就會(huì)喊停，拿走這一部分。

C特別討厭草莓，又特別喜歡奶油，所以他認(rèn)為A拿走的蛋糕只有1/5的效用，B拿走的蛋糕只有1/4的效用，余下的部分有11/20，結(jié)果全都被自己拿走了，C是最高興的。

有人會(huì)有疑問(wèn)：為什么A在刀口到達(dá)1/3效用的位置時(shí)一定要喊停呢？假如他再等一會(huì)兒，不就能拿到更多的蛋糕了嗎？

他這樣做是有風(fēng)險(xiǎn)的，因?yàn)樵谶@個(gè)時(shí)刻，對(duì)A來(lái)講，左側(cè)蛋糕價(jià)值1/3，右側(cè)蛋糕價(jià)值2/3。A喊停，可以保證拿走1/3的蛋糕；如果A選擇等待，右側(cè)部分將會(huì)少于2/3，假如此時(shí)被B喊了停，A將只能和C一起分配不到2/3的蛋糕，很有可能，A將沒(méi)有機(jī)會(huì)獲得1/3的蛋糕了。因此，A一定會(huì)誠(chéng)實(shí)地說(shuō)出自己的感受，這樣他才能獲得確定的、公平的蛋糕，對(duì)于B來(lái)講，情況也是類(lèi)似。

可是如果我們繼續(xù)分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法盡管“公平”，卻不是“無(wú)嫉妒”的。設(shè)想：在蛋糕分配完畢后，三個(gè)人重新檢視了別人拿到的部分。

?? C感覺(jué)A拿到1/5，B拿到1/4，自己拿到11/20，自己拿到的最多，非常開(kāi)心；

?? B感覺(jué)A拿到1/4，自己拿到3/8，C拿到3/8，自己和C拿到的并列最多，心情也不錯(cuò)。

?? A看了看B和C拿到的部分，假如他覺(jué)得B拿到的部分實(shí)在糟透了，價(jià)值只有1/4，但是C因?yàn)橐恢睕](méi)有喊停，反而拿到了最大的一塊，價(jià)值是5/12（=1-1/3-1/4），比自己的1/3（=4/12）還要大！

這時(shí)，A的內(nèi)心就不平靜了。雖然我拿到了全部蛋糕的1/3，我并沒(méi)有吃虧，但是居然有人比我拿得多，這就不行！于是嫉妒心就產(chǎn)生了。

這樣的情景在生活中并不少見(jiàn)。一伙兒匪徒去搶劫，大賺了一筆，每個(gè)人都到分了不少錢(qián)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了自己的預(yù)期?？墒?，還是有匪徒認(rèn)為別人拿到的超過(guò)了自己，于是產(chǎn)生了內(nèi)訌。有些領(lǐng)導(dǎo)干部，明明自己貪污，反而去紀(jì)委舉報(bào)同事，因?yàn)樗X(jué)得別人比自己貪污得更多，自己很冤枉。

也許你在單位中是一名兢兢業(yè)業(yè)的技術(shù)工人，有一天獲得了一點(diǎn)榮譽(yù)或者獎(jiǎng)金，立刻就有人紅著眼睛在背后議論你，你感覺(jué)到很委屈，自己明明只拿到了應(yīng)得的部分??！為什么還會(huì)被人嫉恨呢？還是那句話，因?yàn)槊總€(gè)人對(duì)利益的看法不同。你認(rèn)為你只拿到了自己應(yīng)得的部分，但是其他人卻可能覺(jué)得你比他拿的多得多?，F(xiàn)在，你明白了嗎？

三. 如何消滅嫉妒心？

三個(gè)人還有更好的分蛋糕方法嗎？既要公平，還要沒(méi)有嫉妒，讓每個(gè)人都覺(jué)得自己拿到的部分最大？

這并不是一個(gè)容易的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在1960年代，數(shù)學(xué)家塞爾福里奇和康威提出了一個(gè)方案——三人公平無(wú)嫉妒的分蛋糕方法。

首先，讓A將蛋糕分成三份，并且讓B和C先選，A拿余下的那一塊。因?yàn)锳知道自己將會(huì)最后選擇，所以他一定會(huì)盡力將三塊蛋糕分成均等效用的三份，否則吃虧的一定是自己。

由于每個(gè)人的喜好不同，在B和C眼中，三塊蛋糕并不是均等的，而是有大有小，他們都會(huì)選擇自己認(rèn)為最大的那一塊。如果B和C的選擇不同，A拿余下的一塊，那么問(wèn)題就解決了。此時(shí)B和C都認(rèn)為自己占了最大的便宜，而A認(rèn)為三塊一樣大，也沒(méi)有人超過(guò)自己。三個(gè)人都非常開(kāi)心，這種分配方案是公平且無(wú)嫉妒的。

不過(guò)，如果B和C都看上了同一塊蛋糕，那問(wèn)題就復(fù)雜了。比如，B和C都認(rèn)為右邊的一塊蛋糕最大，他們就必須遵循下面的步驟分蛋糕：

??由B操刀，將最大的一塊（右側(cè)蛋糕塊）再切下來(lái)一小條，使得這塊蛋糕余下的部分與B眼中第二大的蛋糕塊一樣大。

??不考慮切下來(lái)的小條，按照C、B、A的順序選擇三個(gè)大塊的蛋糕。

??如果C沒(méi)有選擇B切過(guò)的那一大塊蛋糕（右側(cè)蛋糕），那么B必須自己拿走這一塊。

??這個(gè)過(guò)程類(lèi)似于新聞上4S店的新車(chē)爭(zhēng)奪戰(zhàn)。一名男顧客和一名女顧客同時(shí)看中了一臺(tái)新車(chē)爭(zhēng)執(zhí)不下，此時(shí)男顧客飛起一腳把新車(chē)的車(chē)燈踹碎了，并問(wèn)女顧客：這輛車(chē)你還要不要？你要的話我還繼續(xù)踹。此時(shí)，如果女顧客選擇退出，男顧客就必須自己把這輛車(chē)買(mǎi)走，否則4S店是不會(huì)同意的。

按照這個(gè)步驟，三人在第一次分配的過(guò)程中，都感覺(jué)自己是占便宜的。

??C先選，C一定選擇自己心目中最好的一塊，他沒(méi)有理由嫉妒別人；

??B再選，因?yàn)榻?jīng)過(guò)自己操刀，三塊蛋糕中有兩個(gè)蛋糕相同而且最大（比如中間的和右側(cè)的），C不可能把兩塊都拿走，所以B總有機(jī)會(huì)拿走最大的兩塊中的一個(gè)；

??A最后選，原本他將蛋糕切成了三個(gè)一樣大的，現(xiàn)在由于B將最右側(cè)的蛋糕又切下來(lái)一塊，最右側(cè)的蛋糕變小了，左側(cè)和中間的蛋糕一樣大。不過(guò)好在，如果C沒(méi)有把最右側(cè)的蛋糕拿走，按照規(guī)則B就會(huì)把這一塊拿走，這塊小的蛋糕一定不會(huì)留給A，A也非常開(kāi)心。

大塊分完了，現(xiàn)在開(kāi)始分切下來(lái)的一小條。如果剛才，C拿走了最右側(cè)的一塊（那個(gè)被B切過(guò)的）蛋糕，那么就繼續(xù)由B將這一小條分成均勻的三塊，并且按照C、A、B的順序選擇這三塊，這樣同樣是無(wú)嫉妒的。

??C第一個(gè)選，所以他會(huì)選擇自己心目中最好的那塊，不會(huì)嫉妒別人。

??A比B先選，所以A不會(huì)嫉妒B；又因?yàn)樵贏心中，現(xiàn)在分的這一小條，本來(lái)就是從剛剛被C選走的那一塊（最右側(cè)）的蛋糕上分割下來(lái)的，在A的眼中，C這個(gè)傻子上一次選了最小的，現(xiàn)在就算把這三個(gè)部分全都給C，C也只是拿到跟自己一樣多的蛋糕而已。于是，A也不會(huì)嫉妒C。

??B最后選，他一定會(huì)盡力將三塊分得均勻——無(wú)論自己拿到哪一塊，都不會(huì)嫉妒別人。

這樣，整個(gè)蛋糕被分配完畢。三個(gè)人都覺(jué)得自己拿到了最大的一塊，這樣就不會(huì)有人嫉妒別人，也不會(huì)有人到上級(jí)部門(mén)舉報(bào)了。這真是一個(gè)精妙絕倫的方法！

如果剛才是B選擇了被切過(guò)的蛋糕塊（最右側(cè)），那么就由C來(lái)分配這小塊，再按照B、A、C的順序選擇，結(jié)論和剛才一樣。

如果人數(shù)比三個(gè)人還多，又該怎么做才能公平且無(wú)嫉妒的分蛋糕呢？1995年，數(shù)學(xué)家布拉姆斯和泰勒證明了無(wú)論有多少人，都存在這樣的分配蛋糕方案。只是，在人數(shù)比較多的時(shí)候，這個(gè)分配方法非常的復(fù)雜。

到了2016年，阿奇茲和麥肯奇又證明了N個(gè)人公平且無(wú)嫉妒的分配一個(gè)蛋糕，所需要的方法數(shù)的上界是：

這么多種。

盡管這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上的解非常復(fù)雜，但是它依然能給我們看待社會(huì)問(wèn)題很多的啟發(fā)。比如作為公司員工，我們會(huì)明白自己為何會(huì)嫉妒別人，以及為何會(huì)被別人嫉妒；作為公司管理者，我們自認(rèn)為是客觀公正的，但是員工卻都覺(jué)得自己偏心。

家長(zhǎng)們自認(rèn)為自己是客觀公正的，嘔心瀝血地設(shè)計(jì)方法分蛋糕，反而經(jīng)常會(huì)落個(gè)里外不是人的結(jié)局。相反，設(shè)計(jì)一個(gè)合力的制度，讓孩子們參與到分蛋糕的過(guò)程中，沒(méi)準(zhǔn)能獲得一個(gè)讓所有人都滿意的結(jié)果。

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