梯度下降法是機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的參數(shù)優(yōu)化算法，使用起來也是十分方便！很多人都知道梯度方向便是函數(shù)值變化最快的方向，但是有認(rèn)真的思考過梯度方向是什么方向，梯度方向?yàn)槭裁词呛瘮?shù)值變化最快的方向的這些問題嘛？

本文便以解釋為什么梯度方向是函數(shù)值變化最快方向?yàn)橐右鰧?duì)梯度下降算法的研究，后面也將通過線性回歸詳細(xì)介紹梯度下降算法以及算法調(diào)優(yōu)方式及其變種。

一、證明梯度方向是函數(shù)變化率最快方向

1、由導(dǎo)數(shù)看梯度

在很多梯度下降法教程中，都有提到梯度這個(gè)概念。從微積分角度，對(duì)多元函數(shù)的參數(shù)求偏導(dǎo)，將各參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)以向量的形式展示出來便是梯度向量。如二元函數(shù)f(x,y)的梯度向量便是：

記作gradf(x,y)?或??f(x,y)，同理如果是三元函數(shù)，則梯度向量便是：

梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，沿著梯度向量方向更易找到函的最大值；反之沿著梯度向量相反的方向，梯度減少最快，更易找到函數(shù)的最小值。相信有挺多人都會(huì)有疑問，為什么梯度方向是函數(shù)變化最快的方向？下面我們便從函數(shù)導(dǎo)數(shù)的角度講解為什么，知其然知其所以然，探尋梯度本質(zhì)。

(1) 先從單變量導(dǎo)數(shù)看起：

對(duì)于單變量函數(shù)f(x)，在x0處導(dǎo)數(shù)定義為：

公式含義如下圖所示：

從幾何意義上說，導(dǎo)數(shù)代表了函數(shù)在該點(diǎn)出切線斜率，表示此點(diǎn)處的變化率，因此單變量函數(shù)只有一個(gè)變量x在變動(dòng)，所以便只有這一個(gè)方向上的變化率。因此對(duì)于多元函數(shù)來說便存在偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)，表示多個(gè)方向上的變化率。

(2) 偏導(dǎo)數(shù)到方向?qū)?shù)

我們以二元函數(shù)f(x,y)偏導(dǎo)數(shù)為例，偏導(dǎo)數(shù)指的是二元函數(shù)沿坐標(biāo)軸的變化率：

• fx(x,y)?指y方向固定不變時(shí)，函數(shù)值沿x軸的變化率；

• fy(x,y)?指x方向固定不變時(shí)，函數(shù)值沿y軸的變化率

顯然偏導(dǎo)數(shù)只是給出了函數(shù)值沿著坐標(biāo)軸的變化率，這自然是完全不夠的，如下圖：

將上圖二元函數(shù)看成一個(gè)山峰，當(dāng)一個(gè)人處于黑色十字位置處想要盡快下山時(shí)，我們需有沿著任意方向的變化率才能夠判斷沿著哪個(gè)方向走才能夠最快的下山。

當(dāng)前我們已經(jīng)有了沿著坐標(biāo)軸x軸和y軸方向的變化率，接下來我們將推出該平面沿著任意方向的變化率，然后找出下降最快的變化率方向（可類比于已知平面的兩個(gè)基向量然后表示平面內(nèi)任意向量），看下圖：

為了解決人如何沿著山峰變化率最快的方向走到山谷，我們先抽象問題作出幾個(gè)假設(shè)：

<1> 假設(shè)山峰表面是一個(gè)二維曲面z = f(x,y)

<2> 人在山峰表面的初始點(diǎn)假設(shè)是M0點(diǎn)(x,y)

<3> 假設(shè)M0點(diǎn)處下山變化率最快的方向?yàn)長(zhǎng)向量方向

<4> M1點(diǎn)(x + x,y +y)是L向量方向上離M0點(diǎn)很近的點(diǎn)

<5>角度φ是L向量與x軸的夾角，ρ表示M0點(diǎn)和M1 點(diǎn)之間距離：

則函數(shù)沿任意方向L向量方向的方向?qū)?shù)定義為：

二維平面z = f(x,y)在M0點(diǎn)是可微分的，根據(jù)函數(shù)的增量有下式：

上式兩邊除以ρ可得：

其中可知：

因此有：

這里我們便推出了一個(gè)重要表達(dá)式，二維山峰平面上任意導(dǎo)數(shù)變化率方向可表示成：

別忘了我們最初的問題，我們最終的目的是要求的是變化率最快的方向，在得出任意變化率方向的表達(dá)式后，我們繼續(xù)向下看，這里令：

則有任意梯度方向：

于是我們也可得出要想讓? f/?L最大，則β，即任意變化率向量方向L和A同方向，請(qǐng)注意啦，這里A的方向是什么，大家仔細(xì)看：

這不正是我們上面說的二元函數(shù)的梯度方向嘛。因此我們便二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)組成的向量：

即定義為函數(shù)的梯度方向，也就是函數(shù)變化率最快的方向。

二、線性回歸理解梯度下降法

首先我們應(yīng)該明白，梯度下降法是無約束優(yōu)化算法。當(dāng)對(duì)某個(gè)函數(shù)求最值時(shí)便并且該函數(shù)可微時(shí)便可以使用梯度下降算法進(jìn)行求解最值。下面我們先從形象上認(rèn)識(shí)一下梯度下降算法：

假設(shè)我們站在山峰的某個(gè)位置，現(xiàn)在要一步一步下山，為了最快的到達(dá)山谷，我們走每一步時(shí)先計(jì)算時(shí)當(dāng)前位置的負(fù)梯度方向，沿著負(fù)梯度方向向下走，這樣我們便可以盡快的到達(dá)山谷，這邊是梯度下降算法的思想。

當(dāng)然從上圖中我們可以看出，梯度下降算法不一定會(huì)找到全局最優(yōu)解，可能是局部最優(yōu)解。下面我們用線性回歸問題實(shí)際應(yīng)用一下梯度下降算法。

這里先介紹幾個(gè)梯度下降法的概念，方便后續(xù)內(nèi)容理解：

(1) 學(xué)習(xí)率：表示為 α，控制步長(zhǎng)大小，即參數(shù)到達(dá)最優(yōu)值的快慢

(2) 步長(zhǎng)：即是梯度下降算法每一步沿負(fù)梯度方向前進(jìn)的距離，表示為：

(3) 特征: 表示為xi(i = 0,1,2,…,n)，即樣本的維度

(4) 假設(shè)函數(shù): 表示為h~θ( x )，即模型的預(yù)測(cè)輸出值

(5) 損失函數(shù): 表示為J( θ ) 即定義預(yù)測(cè)輸出值和真實(shí)輸出值之間的差距，本文下面例子中便利用了最小二乘法定義損失函數(shù)

這里理解一個(gè)數(shù)據(jù)的例子來理解線性回歸，房屋銷售的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)描述的是房屋的特征和房屋銷售價(jià)格的關(guān)系。其中房屋特征包括：面積、房間數(shù)量、地段、朝向等，對(duì)應(yīng)的該房屋的銷售價(jià)格。對(duì)于這批數(shù)據(jù)我們做出以下假設(shè)：

m：表示數(shù)據(jù)的銷售數(shù)量

x：數(shù)據(jù)的特征，假設(shè)共有n個(gè)特征，xi(i = 0,1,2,…,n) 表示數(shù)據(jù)的n個(gè)特征

y：輸出變量，也就是房屋的價(jià)格 (xj,yj)：表示第j個(gè)訓(xùn)練樣本，(j = 1,2,…,m) 共有m個(gè)數(shù)據(jù)

(xij, yij)：表示第j個(gè)數(shù)據(jù)的第i個(gè)特征，i =0,1,2,…,n數(shù)據(jù)共n個(gè)特征

針對(duì)上述數(shù)據(jù)，我們希望建立一個(gè)模型來描述房屋特征和房屋售價(jià)之間的關(guān)系，并通過梯度下降法求出最優(yōu)的模型。

梯度下降算法有代數(shù)法和矩陣法兩種描述形式，下面將分別從代數(shù)法和矩陣法給出上述問題的解決方案：

1、 梯度下降法代數(shù)法推導(dǎo)過程

我們假設(shè)房屋的銷售價(jià)格和房屋特征是線性關(guān)系，于是我們定義假設(shè)函數(shù)為，其中θi(i= 0,1,2,…,n)?為模型參數(shù)，xi(i =0,1,2,…,n)?表示每個(gè)樣本的n個(gè)特征：

損失函數(shù)-利用最小二乘法可得模型的損失函數(shù)為，其中m表示共有m個(gè)樣本(這里請(qǐng)區(qū)分n表示的是每個(gè)樣本的n個(gè)特征，m表示的則是樣本數(shù)量)：

接下來通過梯度下降法J( θ)，通過不斷優(yōu)化參數(shù)θ得出最優(yōu)解：

第一步求解損失函數(shù)的梯度，其中θ是向量：

已知函數(shù)梯度便可以通過梯度迭代參數(shù)，其中α是學(xué)習(xí)率：

上式參數(shù)何時(shí)達(dá)到最優(yōu)？因?yàn)樵诿看窝刂荻鹊姆较蜻M(jìn)行迭代時(shí)，參數(shù)減去步長(zhǎng)，當(dāng)不斷接近局部最小值時(shí)，步子會(huì)越來越小，梯度也會(huì)逐漸趨向0。下面給出參數(shù)迭代收斂條件：

(1) 兩次迭代的值變化很小時(shí)；

(2) 迭代的過程中需要最小化的那個(gè)值不再變小時(shí)迭代收斂

2、 梯度下降法矩陣法推導(dǎo)過程

矩陣法和代數(shù)法解決問題的思路是一致的，不同的是數(shù)據(jù)的表示形式。首先我們?nèi)耘f給出模型的假設(shè)函數(shù)和損失函數(shù)。首先我們令：

m*n維矩陣為數(shù)據(jù)輸入，m表示共m個(gè)樣本，n表示每個(gè)樣本共n個(gè)特征，其中x0?= 1?是為了數(shù)據(jù)整齊而假設(shè)的多出一維的特征，無實(shí)際含義

因此假設(shè)函數(shù)為：

利用最小二乘法定義損失函數(shù)為：

其中Y為m*1維向量，表示m個(gè)數(shù)據(jù)實(shí)際放假值，接下來仍舊使用梯度下降法最優(yōu)化對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)優(yōu)，第一步求損失函數(shù)梯度為：

于是得到參數(shù)θ的迭代公式：

上述求梯度是用到了矩陣求導(dǎo)，這里給出上述用到的矩陣求導(dǎo)的兩個(gè)公式：

迭代收斂條件和代數(shù)法中描述的相同

三、梯度下降法調(diào)優(yōu)及變種

1 、梯度下降算法可優(yōu)化主要有以下三點(diǎn)：

(1) 步長(zhǎng)：?由學(xué)習(xí)率來控制，步長(zhǎng)過小則迭代緩慢，步長(zhǎng)過大則錯(cuò)過最優(yōu)解，步長(zhǎng)公式表示為：

(2) 參數(shù)初始值：?初始值的選擇不同得到的解可能不同，這就是梯度下降算法出現(xiàn)局部最優(yōu)解的原因，可以通過多次選取初始值得到全局最優(yōu)解，參數(shù)向量表示為：

(3) 歸一化：?因?yàn)檩斎霐?shù)據(jù)特征的取值范圍不一樣，可能使得迭代緩慢。因此我們可以對(duì)數(shù)據(jù)特征進(jìn)行歸一化操作，即求出特征的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，利用下式進(jìn)行歸一化處理：

2、梯度下降算法的可以有以下變種：

<1>按照每次迭代處理數(shù)據(jù)量的多少可分為：

(1) 批量梯度下降法：上述推導(dǎo)式使用的公式便是批量梯度下降法，即每次迭代都會(huì)使用全部的樣本進(jìn)行更新，好處是準(zhǔn)確，但每次迭代都需計(jì)算全部樣本，參數(shù)迭代公式為：

(2) 隨機(jī)梯度下降法：原理和批量梯度類似，只是每次迭代只使用一個(gè)樣本進(jìn)行參數(shù)迭代，好處是每次迭代速度快，但缺點(diǎn)便是解可能不是最優(yōu)，不能很快收斂到最優(yōu)解，公式為：

(3) 小批量梯度下降法：是批量梯度下降法和隨機(jī)梯度下降法的這種，每次選取一部分樣本進(jìn)行迭代，參數(shù)迭代公式為：

<2>按照梯度迭代的方向可分為：

(1)梯度下降法：既是上面一直討論的，是沿著負(fù)梯度方向求函數(shù)最小值，即每次迭代是減去學(xué)習(xí)率乘以梯度

(2)梯度上升法：和梯度下降法想法，梯度上升法每次迭代是沿著正梯度方向，是求函數(shù)極大值使用，參數(shù)迭代公式為：

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