本文部分改編自：大老李聊數(shù)學(xué)（音頻）：S2E07.戴德金分割和 “ 連續(xù) ” 的實(shí)數(shù)

一般來(lái)說(shuō)一個(gè)具體區(qū)間內(nèi)的有理數(shù)集包含無(wú)窮多個(gè)元素，因?yàn)橛欣頂?shù)具有稠密性。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，兩個(gè)有理數(shù)A和B，A和B之間的有理數(shù)有哪些呢？首先至少（A+B）/2是一個(gè)有理數(shù)，然后我們又發(fā)現(xiàn)（A（（A+B）/2）/2）是一個(gè)有理數(shù)，二分法的大致原理也就是這樣。也就是說(shuō)，對(duì)于任意大于1的正整數(shù)m，有(A+B/m)是一個(gè)屬于（A,B）的有理數(shù)。

那么戴德金分割又是什么梗呢？我們知道我們可以將整個(gè)有理數(shù)集分成兩個(gè)集合A和B。其中A中的任意一個(gè)元素a，小于B中的任意一個(gè)元素b。換句話說(shuō)就是A中元素的最大值小于B中元素的最小值。這個(gè)時(shí)候我們把A稱(chēng)為下組，B稱(chēng)為上組，一般記為A|B。

那么我們?cè)趺慈澐帜?？很?jiǎn)單。首先我們找一個(gè)實(shí)數(shù)a，然后我們規(guī)定：小于a的有理數(shù)構(gòu)成集合A，大于等于a的有理數(shù)構(gòu)成集合B?；蛘咝∮诘扔赼的有理數(shù)構(gòu)成集合A，大于等于a的有理數(shù)構(gòu)成集合B。我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a是有理數(shù)的時(shí)候，總有一個(gè)集合有最值，但當(dāng)a是無(wú)理數(shù)的時(shí)候，兩個(gè)集合就都沒(méi)有最值了。這樣，所有滿足使得兩個(gè)集合都沒(méi)有最值的數(shù)a所構(gòu)成的集合就是無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的并集也就是實(shí)數(shù)。教科書(shū)上的“無(wú)理數(shù)的定義是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”這一說(shuō)法其實(shí)是錯(cuò)誤的。

那么為什么無(wú)理數(shù)的定義不能是教科書(shū)的說(shuō)法呢？那是因?yàn)槎x必須是實(shí)際可判定定理。也就是說(shuō)如果無(wú)理數(shù)的定義是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，那么我們就能通過(guò)這個(gè)定義來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，也就意味著我們要把這個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)一個(gè)一個(gè)寫(xiě)出來(lái)。但無(wú)論我們寫(xiě)出了多少位，我們得到的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字都是有限的，因此它不能作為無(wú)理數(shù)的判定定理，也就更不能作為定義了，但它可以作為無(wú)理數(shù)的一個(gè)性質(zhì)。

當(dāng)然，除了戴德金分割之外，我們也可以想象著這么去定義實(shí)數(shù)：一切滿足平方大于等于0的數(shù)是實(shí)數(shù)，或者一切可以比較大小的數(shù)構(gòu)成實(shí)數(shù)。因?yàn)樘摂?shù)是不能比較大小的，就像向量一樣。這些定義的毛病我還真沒(méi)找到，因?yàn)槲夷芰蛯W(xué)歷都不夠。如果這篇文章有人看并且知道這兩個(gè)定義的不足之處，那么我希望你可以告訴我，然后我寫(xiě)一篇新短文。

事實(shí)上“實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)”這個(gè)命題的證明，我是沒(méi)有查到的，不過(guò)我們可以想辦法理解這個(gè)命題。首先正數(shù)的平方是正數(shù)，0的平方是0，那么對(duì)于一個(gè)負(fù)數(shù)，首先我們假設(shè)正數(shù)a的相反數(shù)是（－a），那么（－a）的平方如果小于0，那么－(－a）的平方就大于0，展開(kāi)來(lái)就是－(－a）·(﹣a）大于0，根據(jù)乘法的交換律，我們知道上式等價(jià)于a·（﹣a）大于0，即一個(gè)正數(shù)乘一個(gè)負(fù)數(shù)大于0。那么為什么－（－a）就等于a呢？因?yàn)橄喾磾?shù)的相反數(shù)是它本身，就像“敵人的敵人是朋友”一樣。那么為什么乘法具有交換律呢？這個(gè)在《幾何原本》第7卷命題16中有介紹，我不重復(fù)。這也就像我在早期的文章里提到的那樣，《幾何原本》就像是數(shù)學(xué)界的《圣經(jīng)》一樣，對(duì)數(shù)學(xué)狂熱愛(ài)好者們的要求是每一條命題在哪一卷命題幾都要能背出來(lái)。