Q：今有物不知其數(shù)三三數(shù)之剩二五五之剩三七七之剩二問(wèn)物幾何？

此所謂孫子定理或中國(guó)剩余定理。聲明一下，我高三學(xué)生，請(qǐng)不要用小學(xué)方式解答本題，告訴我答案是23，我要的是方法。大概涉及到大學(xué)的數(shù)論和同余問(wèn)題?，F(xiàn)對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行拓展，如果這個(gè)數(shù)字在1000以內(nèi)，求它的全部可能解。設(shè)共有W個(gè)該物體，則有
W≡2(mod)3
W≡3(mod)5
W≡2(mod)7
這種表示方法該如何解方程組

A1：

小學(xué)奧數(shù)的數(shù)論板塊就有這部分內(nèi)容，我嘗試用小學(xué)奧數(shù)的方法講解（小學(xué)生都能懂）——

設(shè)自然數(shù)W滿足以下4個(gè)條件——

0＜W＜1000，W≡2(mod 3)，W≡3(mod 5)，W≡2(mod 7)

也就是說(shuō)，自然數(shù)W在0到1000之間，并且是一個(gè)除以3余2、除以5余3、除以7余2的數(shù)，那么——

W＝ 3x＋2＝5y＋3＝7z＋2 ……①

（x、y、z為自然數(shù)）

我們先來(lái)解整數(shù)不定方程：3x＋2＝5y＋3

兩邊模3得——

2≡2y (mod 3)

y≡1 (mod 3)

令y＝3m＋1 ……②

（m為自然數(shù)）

把②代入①得——

W＝5(3m＋1)＋3＝7z＋2

W＝15m＋8＝7z＋2 ……③

接下來(lái)我們繼續(xù)解整數(shù)不定方程：15m＋8＝7z＋2

兩邊模7得——

m＋1≡2 (mod 7)

m≡1 (mod 7)

令m＝7n＋1 ……④

（n為自然數(shù)）

把④代入③得——

W＝15(7n＋1)＋8

W＝105n＋23 ……⑤

當(dāng)自然數(shù)n取0時(shí)，W＝23，是滿足條件的最小整數(shù)解．

接下來(lái)在(0,1000)的范圍內(nèi)求解，即解不等式——

105n＋23＜1000，解得n≤9．

將n＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分別代入⑤式，即可求出W的全部10個(gè)解：

23、128、233、338、443、548、653、758、863、968．

A2：

注意到W除以3余2，除以7也余2，那么可以化同余為整除——

W＝ 3x＋2＝7z＋2

W－2＝3x＝7z

W－2＝3×7×k

（k為自然數(shù)）

W＝21k＋2 ……①

又因?yàn)閃除以5余3，有——

W＝21k＋2＝5y＋3

解不定方程：21k＋2＝5y＋3

兩邊模5得——

k＋2≡3 (mod 5)

k≡1 (mod 5)

令k＝5s＋1 ……②

（s為自然數(shù)）

把②代入①得——

W＝21(5s＋1)＋2

W＝105s＋23

當(dāng)自然數(shù)s取0時(shí)，W＝23，是滿足條件的最小整數(shù)解．

接下來(lái)在(0,1000)的范圍內(nèi)求解，即解不等式——

105s＋23＜1000，解得s≤9．

將s＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分別代入⑤式，即可求出W的全部10個(gè)解：

23、128、233、338、443、548、653、758、863、968．