（截取自水平系統(tǒng)視頻的廢案）

（輕度數(shù)學含量警告！）

Elo

Elo評級系統(tǒng)于1960年由美國物理學家Arpad Elo發(fā)明，是的，Elo三個字母并不是什么簡寫，而就是發(fā)明者的姓。當時美國象棋聯(lián)盟（USCF）在使用另一套水平系統(tǒng)來評判不同玩家的實力，但他們發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)并不準確，就請了同時是國際象棋大師和物理學家的Arpad Elo來做一套新的評級系統(tǒng)，于是在游戲中第一個精準的水平系統(tǒng)就這么誕生了。

（Fun Fact 1970-1980年間Elo系統(tǒng)是由Arpad Elo本人自己計算的）

接下來我會稍微探究一下Elo系統(tǒng)的數(shù)學原理，雖然我的數(shù)學也只是三腳貓的功夫，但我覺得大抵算是搞懂了（？）。不過如果你不太喜歡數(shù)學，可以跳到（跳點①）來跳過一些Elo相關的理論內容。

對于留下來的觀眾，我們先來看下Elo系統(tǒng)最基礎的原理。

在開始任何運算之前，Arpad做出了一個很聰明的假設：他假設每個玩家的發(fā)揮，或者叫表現(xiàn)，都是呈鐘形曲線分布的：玩家的表現(xiàn)大部分時候都位于一個平均值，有時候表現(xiàn)得好些，有時表現(xiàn)的壞些。也許你昨晚沒睡好所以打得比較差，又或許生活中發(fā)生什么好事時你會變得很亢奮從而使你發(fā)揮超常，但更多時候你的表現(xiàn)還是接近于平均值的。不同玩家有不同的平均值，代表玩家的水平。另外在假設中大部分玩家鐘形曲線的寬度，即表現(xiàn)的穩(wěn)定性差不多。

當兩個玩家對戰(zhàn)時，他們在該局的表現(xiàn)相當于從兩個鐘形曲線下方各隨機取一個點，兩個點所對應的值更大的一方相當于在本局游戲中發(fā)揮更好，也就會獲勝。

在這樣的模型下，兩人的平均值相差越大，水平更高的玩家越能穩(wěn)定地戰(zhàn)勝水平更低的玩家。反之雙方的平均值相差越小，勝率就會越趨近于50%。

事實上，如果我們假設兩人的表現(xiàn)是都符合正態(tài)分布的，同時以分布的標準差為單位把兩個分布的平均值的差表示出來，這個勝率是可以被準確計算出來的。兩個獨立的正態(tài)分布的隨機變量的差值的隨機變量依然會是呈正態(tài)分布的，新分布中高于零的部分的占比自然就是玩家A贏玩家B的勝率，這個值可以用正態(tài)函數(shù)的概率累計函數(shù)，即誤差函數(shù)來計算出來。由此我們就可以只用雙方分差作為參數(shù)計算出雙方的勝率。

不過后來經過國際象棋聯(lián)盟對實際數(shù)據(jù)的驗證，相比正態(tài)分布，計算勝率時使用邏輯分布的累計分布函數(shù)——邏輯函數(shù)會更加貼切。而這也就催生網上最常見的Elo公式：（玩家的表現(xiàn)分布間的差值產生的新隨機變量的分布更偏向于邏輯分布）

值得注意的是這里的10和400都是Arpad在設計時為了讓分數(shù)更直觀自己選的。這兩個數(shù)字的含義是：分數(shù)相差400分的兩位玩家，對戰(zhàn)時勝率相差十倍（即90.9%和9.09%）。實際使用Elo系統(tǒng)時不同設計者完全可以（大部分時候也會）自己定義這兩個數(shù)。另外整個玩家群體中所有分數(shù)的平均值也是由設計師自定義的，可以是0，也可以是2000、10000等等。

這里我再擺一組數(shù)據(jù)來幫助理解分差與預期勝率間的關系。與對手分數(shù)相同時勝率自然是50%，高100分時勝率為64%，高200分時勝率是76%，高300分時勝率是84%，高400分時勝率是91%……到高800分時勝率是99%。隨著分差加大預測的勝率會逼近于100%但不會達到100，熟悉邏輯函數(shù)的朋友應該對這個規(guī)律并不陌生。

這個公式也就構成了Elo系統(tǒng)的基礎：給定任意兩人準確的分差，我們能通過這個公式算出他們間的勝率?；蛘叻催^來說，給定任意兩人間足夠多的對局樣本，我們可以通過他們間的勝率計算出在系統(tǒng)下應該讓他們之間相差多少分。

接下來的問題是：如果有勝率已知但分數(shù)未定的兩名玩家A、B，我們怎樣使他們間的分差回歸到應有的值呢？這里就要靠Elo系統(tǒng)的分數(shù)更新公式了。在每局對局結束過后，Elo系統(tǒng)會根據(jù)我們對勝率的預測與實際的勝負結果來進行分數(shù)更新。贏的人加分，輸?shù)娜藴p分。具體公式如下：

這里Ea是上面式子中預測出玩家A的勝率，Sa是在玩家A的角度上的對局結果（贏為1，平局為0.5，輸為0），而K是一個人為設定的規(guī)定分數(shù)變化速度的系數(shù)：K越大，玩家的分數(shù)變化越快，但分數(shù)的上下抖動就會越劇烈。反之K越小，玩家分數(shù)變化越慢，但分數(shù)上下抖動幅度就越小。因此許多國象聯(lián)盟在低分段中用大K值32，在高分段用小K值16。

用簡單的語言描述下這個式子，就是用實際結果減去預期結果，乘上一個系數(shù)，然后加到原來的分數(shù)上。

不難看出，分數(shù)更新的值是與 ?預測結果 和 實際結果 ?間的差值呈正比的。如果預測大概率贏，實際贏了，那么Sa和Ea的差值較小，加分也就較小。預測小概率贏，實際贏了，Sa和Ea的差值較大，加分也就較大。反過來輸?shù)那闆r也是如此。越是意料之內的輸，減分越小，越是意料之外的輸，減分越大。

換成人話來說：贏比自己分高的人，加分多，贏比自己分低的人，加分少；輸比自己分高的人，加分少，輸比自己分低的人，加分多。相信在大家的理解里這應該也是一個很自然的規(guī)則。

另外值得注意的一點是，因為對局總要有人贏，即Ea（A贏的概率）和Eb（B贏的概率）之和必定為0，代入回上面的式子中，同一場對局后，雙方加分的值和減分的值必定是相同的（假設k值相同）。贏的人加多少分，輸?shù)娜司蜁p多少分。

那么為什么這個式子能讓玩家的分數(shù)回歸正確的值呢？其實原理也很簡單

我們假設有兩個玩家，他們的實力差距使得玩家A打玩家B剛好有75%的勝率，也就是每4把贏3把輸1把。

在雙方當前的分數(shù)都已位于他們實際分數(shù)上的情況下，系統(tǒng)能準確預測出他們之間的勝率0.75。這時玩家A每贏一把加K*（1(贏)-0.75） = 0.25K的分，而每輸一把要減 K *(0(輸)-0.75) = -0.75K.... 要減0.75k的分。贏三把的分數(shù)恰好抵消輸一把的分數(shù)，雙方的分數(shù)也就會維持在這個位置。

（這是個過度簡化的說法，還要假設分數(shù)在四把都結束后才會計算，不過實際情況下如果每局結束就結算分，給定足夠多的局數(shù)也依然會回歸原來的分數(shù)）

而如果雙方一開始分差比實際的差距小，那么系統(tǒng)對A勝率的預測就會偏小。比如系統(tǒng)預測出A贏B的概率是0.6而非0.75，那么贏三把加的分是1.2k，輸一把減的分是0.6k，平均來說A逐漸加分，B逐漸減分，A和B的分差就會逐漸拉大，向正確值回歸。反過來的道理也是一樣的。也就是說在Elo系統(tǒng)下，雙方的分差是會自動回歸到真實值的。

而這個規(guī)律拓展到一大群玩家間的對局也是成立的。在玩家間發(fā)生大量的相互對戰(zhàn)的過程中，所有玩家的分數(shù)也都會逐漸回歸與玩家實力對應的數(shù)值。分數(shù)虛高的玩家會因為加分少減分多掉回去，而分數(shù)比實際值低的玩家會因為加分多減分少升回來。由此勝率計算公式和分數(shù)更新公式就做到了讓玩家的分數(shù)自動回歸所屬的位置，這也就是Elo系統(tǒng)的運作原理。

（跳點①）

好的，那在這里總結一下Elo系統(tǒng)的運作模式：

· Elo系統(tǒng)通過賦給玩家虛擬的分數(shù)來表示玩家水平。

· 分數(shù)的意義是預測玩家間對戰(zhàn)的勝率，兩人對戰(zhàn)時分數(shù)高的人勝率更高，分差越大勝率就越一邊倒。

· 分數(shù)的調整在比賽結束后進行。玩家贏的局加分，輸?shù)木譁p分。加減分的量只由雙方的分數(shù)差與比賽結果決定。高分打贏低分時，因為高分贏低分的概率本來就大，所以高分拿分少，低分掉分少，；低分打贏高分時，因為低分贏高分的概率小，所以低分拿分多，高分掉分也多。 跳過來的觀眾可以暫停思考幾秒，這點應該是非常符合直覺的。

在這個原理中不難發(fā)現(xiàn)，Elo系統(tǒng)是具有自適應性的。即無論對方的實力如何，只要對方的分數(shù)是準確的，對局結果都不會對你的分數(shù)造成不公正的影響。比如你在2000分時遇到了一個4000分的人，你雖然幾乎沒有可能贏他，但也正因如此，輸了之后你掉的分幾乎可以忽略不計。又或者說你遭遇了一個很困難的對局，每五把這樣的對局你才能贏一把，但其實贏得這一把加的分數(shù)是完全可以抵消輸?shù)乃陌阉鶃G失的分數(shù)的。

不過說了這么多，現(xiàn)在除了各種棋類和一些職業(yè)體育賽事的排行，現(xiàn)在我們幾乎已經看不到Elo的身影了。這主要是因為Elo系統(tǒng)中玩家分數(shù)向真實值的收斂速度大部分時候是非常緩慢，因此在電子游戲中大多用Elo系統(tǒng)的各種后繼者代替了。（從這個角度來看，針對Elo的抱怨其實大多是在抱怨根本不存在的東西）

Glicko

接下來我們就來具體看下這些Elo的改進版。首先是由哈佛大學統(tǒng)計學教授Mark Glickman發(fā)明的Glicko系統(tǒng)。

Glicko系統(tǒng)的提出最主要的目的是解決新玩家與太久不玩的玩家的分數(shù)不可靠的問題。

設想這樣一個場景：兩個同樣是1700分的玩家進行對戰(zhàn)，但是一個五年都沒上過線，而另一個一直在玩。顯然，這兩個1700分的可靠性是不同的，后者的1700分明顯比前者更可靠。在直覺上來說，我們會認為這個五年沒碰過游戲的玩家的分數(shù)應該被大幅調整，而另一方的分數(shù)只應該接受小幅調整。

但是在Elo系統(tǒng)下，我們只能對雙方的分數(shù)進行同樣幅度的調整，因為Elo中的加分與減分總是（其實是大部分時候）相等的，這兩個玩家一個加多少分，另一個就得減多少分。這樣的處理在這種場景下顯然是不合理的。

Glicko系統(tǒng)就通過再Elo的基礎上引入一個新的概念“Rating Deviation”，分數(shù)標準差，簡稱RD，來對玩家分數(shù)的“可靠性”進行衡量。

不過要往細節(jié)說的話就很復雜了，我在這里只說定性的結論。

玩家的RD代表我們有多不確定玩家的分數(shù)能正確代表玩家實力。RD越高，我們越不確定玩家的分數(shù)能代表他的實力，即分數(shù)越不可靠；RD越低，我們就越確定，即分數(shù)越可靠。

在Glicko中，每場比賽結束后，玩家分數(shù)的更新除了受輸贏結果、雙方分數(shù)影響外，也會被RD所影響。RD越大，分數(shù)加減越大；RD越小，分數(shù)加減越小。也就是對我們很能信任的分數(shù)進行小幅調整，對我們很不確定的分數(shù)進行大幅調整。

RD本身的變化受兩個場景所影響：

1.每場對局結束后RD會根據(jù)對局情況縮小一點，代表對局進行的越多，我們對這名玩家的分數(shù)的準確性越有信心。但是縮小后的RD不會低于一個人為設定的最小值，保證玩家始終能有一定幅度的分數(shù)加減。

2.每個「時間段」結束后所有玩家的RD會上漲一次，代表分數(shù)的可靠性會隨時間衰減，這樣玩家越久不玩RD便會越高。這里時間段的長度是可以根據(jù)需要自由設置的，幾周到一年都可以。RD的上漲同樣也不會高于最大值，而這個最大值等同于一個新玩家的初始RD，即一個我們完全不知道水平如何的玩家的RD。

這樣一來系統(tǒng)就能對新玩家和退坑的老玩家進行合適的響應了。很多游戲中存在“新號上分快”的現(xiàn)象也正是由此而來的。新號的RD處于最大值，因此分數(shù)更新的幅度自然是最大的，上分和掉分的幅度都會很大，在進行的對局變多以后RD才會逐漸衰減下來。上面提到的Elo系統(tǒng)對玩家實際分數(shù)的逼近速度過慢的缺點也就由此解決了。

Glicko-2

不過Glicko系統(tǒng)也并非是完美的，稍微觀察下兩條決定RD變化的規(guī)則就不難發(fā)現(xiàn)問題：這樣的設計是建立在“玩家的水平在短時間內不會產生大幅變動”的假設下的，而在大部分情況下這個假設確實成立。但考慮游戲的實際情況，玩家通過線下練習、觀看攻略、或是自己琢磨策略等途徑是可能實現(xiàn)短時間內的提高的。又或者在賬號轉移、玩家發(fā)生意外等情況下，玩家水平也可能突然降低。而Glicko系統(tǒng)則難以對這樣的情況進行響應。

Glickman就針對這個問題對Glicko系統(tǒng)再次進行了改進，做出了Glicko-2系統(tǒng)。Glicko-2系統(tǒng)比Glicko還要復雜，老實說我也并不確定自己完全搞懂了，在這里也就只能給些過度簡化后的結論。如果你想深入了解Glicko-2可以看看Glickman自己寫的文檔：。

Glicko-2系統(tǒng)引入了另一個新變量“易變性”（Rating Volatility），符號σ，來衡量玩家的對局表現(xiàn)有多不符合系統(tǒng)預期。

如果一個玩家的表現(xiàn)一直符合預期，打同水平的人輸輸贏贏，打分數(shù)高的人輸多贏少，那么它的σ就會較低。而如果一個玩家不斷地穩(wěn)定贏過同分和分更高的對手，那他的σ就會較高。當然，穩(wěn)定地輸給同分或分更低的對手時σ也會變高。（甚至一邊贏高分一邊輸?shù)头忠矔箂igma變大）

σ在每局結束后會根據(jù)雙方分數(shù)、RD與對局勝負進行更新。

在σ更新后RD會根據(jù)σ的大小進行增加，σ的值越大，RD增加的值就越大。而RD是決定分數(shù)加減的幅度的。也就是說對于σ大，即表現(xiàn)很不符合預期，在猛贏或猛輸?shù)耐婕?，我們會讓他的加減分幅度變得更大，代表著我們認為現(xiàn)有的分數(shù)不能準確反應他的實力了。如果你在游戲中發(fā)現(xiàn)大量連勝后加分很猛，那很有可能就是σ在發(fā)揮作用了。

當然，在這之后RD依然會根據(jù)對局情況再進行縮小，這里和Glicko1是一樣的。

那么到了Glicko-2這一代，一個功能完備，且收斂速度很快的Elo類水平系統(tǒng)就算完成了。對于跳到這里來的觀眾，是的，Glicko-2是Elo的改進版的改進版，以及早就沒人在用Elo了。

現(xiàn)在絕大部分成熟的電子游戲使用的就是高度類似于Glicko-2的水平評估系統(tǒng)，CS-GO、Splatoon 2等游戲被證實使用的就是Glicko-2，而像英雄聯(lián)盟、星際爭霸、守望先鋒等游戲也基本可以確定至少是在用類似Glicko-2的某種變種。

對于只關心“上分”的玩家，我們來小結一下到Glicko-2這一代為止，玩家分數(shù)的加減會受哪些因素影響。

0.分數(shù)是加還是減由對局結果決定，勝者加分，輸者減分，加減分的大小由后幾條決定。

1.你的分數(shù)與你對手的分數(shù)。對手的分越高，你贏的時候加分越多，輸?shù)臅r候減分越少。反之對手的分越低，你贏的時候加分越少，輸?shù)貢r候減分越多。

2.你進行游戲得有多頻繁。新玩家或很久沒玩的玩家在對局過后加減分的幅度會很大，而經常玩的玩家對局后的加減分較小。

3.你最近的勝負情況。如果你在連續(xù)贏較強的對手或連續(xù)輸給較弱的對手（甚至一段時間內又贏較強的對手又輸給較弱的對手也應該包括在內），你加減分的幅度就會比較大。

不過需要注意的是這里的分數(shù)是指你的真實分數(shù)，即代表（游戲能評估出的最準確的）你真實實力的分數(shù)。很多游戲不會把真實分數(shù)給你看，你能看到的只有和分數(shù)有一定關聯(lián)性的“段位”。