【數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)Ep6】線性代數(shù)：同濟(jì)線性代數(shù)教材相關(guān)內(nèi)容總結(jié)（六）線性方程組
2023-03-25 22:16 作者:躺坑老碧的學(xué)習(xí)瞎記 | 我要投稿
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第 三?章 矩陣的初等變換與線性方程組
&3.線性方程組的解
概念：
線性方程組相容：線性方程組有解。
線性方程組不相容：線性方程組無(wú)解。
定理：
n元線性方程組Ax=b
無(wú)解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；
有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；
有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)<n。
求解線性方程組的步驟：
對(duì)于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣B化為行階梯形，從B的行階梯形可同時(shí)看出R(A)和R(B)，若R(A)<R(B)，則方程組無(wú)解；
R(A)=R(B)，則進(jìn)一步把B化成行最簡(jiǎn)形，而對(duì)于齊次線性方程組，則把系數(shù)矩陣A化成行最簡(jiǎn)形；
設(shè)R(A)=R(B)=r，把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余n-r個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于c1,c2,...,cn-r，由B（或A）的行最簡(jiǎn)形，即可寫(xiě)出含n-r個(gè)參數(shù)的通解。
n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n。
線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)。
矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B)。
設(shè)AB=C，則R(C)<=min{R(A),R(B)}。
