【googology】遞增元序列IUN（中，3.375難度）

2023-03-06 12:07 作者:3183丶4139 0人讀過(guò) | 我要投稿

????遞增元序列?(Increase Unit Notation)，簡(jiǎn)稱IUN，是我第一個(gè)完全原創(chuàng)的較為強(qiáng)大的記號(hào)。

????本文約11000字，大部分內(nèi)容是分析大小，講原理的部分相對(duì)不復(fù)雜，但難度同樣不低。

目錄：
1：概念與定義
2：1,2,2,2,3之前的序列
3：1,2,2,3，等于Γ?
4：序列中的ψ外殼
5：解鎖反射序數(shù)記號(hào)
6：IUN的極限
7：歷史和擴(kuò)展

? ? 本文分為上中下三個(gè)部分，本部分為中，包含“序列中的ψ外殼”、M之前的“解鎖反射序數(shù)記號(hào)”兩個(gè)內(nèi)容。

4：序列中的ψ外殼

????1,2,2,3之后，整個(gè)序列復(fù)雜了很多，如果提前告訴你1,2,2,3,1,2,2,2,3就是BHO你可能不敢相信，同時(shí)前面也有不少規(guī)則需要更改。

????首先，1,2,2,3,1,1,2,2,3等于什么？待壞項(xiàng)是“2”，整個(gè)序列中沒(méi)有單獨(dú)的“2”作為后繼元，所以壞根是首項(xiàng)？不。待壞項(xiàng)，它也是一個(gè)后繼元，也可以有自己的待壞項(xiàng)。待壞項(xiàng)的待壞項(xiàng)稱為二階待壞項(xiàng)，后面也有更高階的待壞項(xiàng)。
????對(duì)于任何后繼元，高階待壞項(xiàng)的終點(diǎn)一定是“1”。從1,2,2,3,1,1,2,2,3出發(fā)，一階待壞項(xiàng)是“2”，二階待壞項(xiàng)則是“1”。所以在序列中，不僅可以找一階待壞項(xiàng)，也可以找二階待壞項(xiàng)，即1,2,2,3,1,1,2,2,3?，F(xiàn)在結(jié)論很簡(jiǎn)單了，壞根是這個(gè)1的下一項(xiàng)，1,2,2,3,1,1,2,2,3=1,2,2,3,1,1,2,2 2,3,3 3,4,4 4,5,5,...。這個(gè)式子就是 $%CE%93_02$

????1,2,2,3之后IUN的強(qiáng)度迅速增加，從這個(gè)表達(dá)式就可以看出：1,2,2,3,1,2,1,2,2,3。2,3，待壞項(xiàng)是“2”和“1”，但是整個(gè)表達(dá)式中也沒(méi)有這樣的待壞項(xiàng)，因此壞根是首項(xiàng)。所以1,2,2,3,1,2,1,2,2,3，展開式是1,2,2,3,1,2,1,2,2 2,3,3,4,2,3,2,3,3 3,4,4,5,3,4,3,4,4,...，這里出現(xiàn)了1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4，它等于1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,...，是 $%CF%89%5E%7B%CE%93_02%7D$

? ? 在1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4后面加上1,2,2,3之前的結(jié)構(gòu)，才有1,2,2,3之前的那些特征：
????1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%93_0%2B1%7D$
????1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%CF%86(%CF%89%2C%CE%93_0%2B1)$
????1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3,4=1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,...相當(dāng)于把 $%CE%93_0$ 嵌套到了 $%CE%93_0$ 結(jié)構(gòu)，也就是 $%CF%86(%CE%93_0%2C1)$
????1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2是 $%CF%86(%CE%93_0%2C%CF%89)$ 。
? ?1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3=1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,? 3,3,4,2,2,3,3,4,2,2,3,3,4,2,...= $%CF%86(%CE%93_0%2B1%2C0)$ 。
????1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,2,3,3,3,4,4,5=? ? ? ? ?? $%CF%86(%CE%93_02%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,2,3,3,3,4,4,5,2,3,3,3,4= $%CF%86(%CE%B5_%7B%CE%93_0%2B1%7D%2C0)$
? ? 1,2,2,3,1,2,1,2,2,3，看起來(lái)像Γ?2，實(shí)際上已經(jīng)是 $%7B%CE%93_1%7D$ 了。
????1,2,2,3,1,2,2= $%7B%CE%93_%CF%89%7D$

? ? 現(xiàn)在又出現(xiàn)了一種新的情況：1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3。末后繼元2,3的待壞項(xiàng)是“2”，整個(gè)序列中是有“2”這個(gè)后繼元，但是把它的下一項(xiàng)作為壞根，相當(dāng)于展開末尾的1,2,2,3，與前面的1,2,2,3,1,2,1,2,2,3差別相當(dāng)大。

????現(xiàn)在，要加一個(gè)要求：在待壞項(xiàng)與末項(xiàng)不在同一個(gè)遞增元時(shí)，待壞項(xiàng)的遞增元位差不能低于末遞增元差。末遞增元差是指最后一個(gè)遞增元的末項(xiàng)減首項(xiàng)；待壞項(xiàng)的遞增元位差則指“待壞項(xiàng)的末項(xiàng)減去待壞項(xiàng)所在遞增元的首項(xiàng)”。
????所以，1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3，這個(gè)待壞項(xiàng)的遞增元位差是2-1=1，而末遞增元差是3-1=2；因?yàn)?>1，所以不能選取這個(gè)待壞項(xiàng)，那么壞根就只能是首項(xiàng)了。

????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=1,2,2,3,1,2,2,1,2,2 2,3,3,4,2,3,3,2,3,3 3,4,4,5,3,4,4,3,4,4,...
????根據(jù)1,2,2,3,1,2,2= $%7B%CE%93_%CF%89%7D$
????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,2,3= $%7B%CE%93_%7B%CE%B5_0%7D%7D$
????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,2,3,3,4= $%CE%93_%7B%CE%93_0%7D$
????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3是 $%CF%86(1%2C1%2C0)$

????后面的序列分析起來(lái)就不算難了：
????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,3= $%7B%CE%93_%7B%CF%86(1%2C1%2C0)%2B1%7D%7D$
????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=? ? $%CF%86(1%2C1%2C1)$
????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2= $%CF%86(1%2C1%2C%CF%89)$
? ? 1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C2%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%86(1%2C%CF%89%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(2%2C0%2C0)$
????每次出現(xiàn)ω的時(shí)候，后面加上一個(gè)1,2,2,3表示給ω嵌套φ函數(shù)ω次
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2= $%CF%86(2%2C0%2C%CF%89)$
???1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(2%2C1%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2=? ? ? ? $%CF%86(2%2C%CF%89%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(3%2C0%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%86(%CF%89%2C0%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3=? ? ? ? ? ? ? ? ? $%CF%86(1%2C0%2C0%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C0%2C1%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C1%2C0%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(2%2C0%2C0%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2=? ?? $%CF%86(%CF%89%2C0%2C0%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C0%2C0%2C0%2C0)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,2= $%CF%86(1%40%CF%89)$ ，也就是SVO

????TREE(3)下界的FGH序數(shù)是1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,3,3,3
????1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,3是LVO

?????！，F(xiàn)在換一種表述方式，用Buchholz's OCF來(lái)描述，一切就變得直觀多了。
????1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9)$
1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9%2B%CE%A9%5E%7B%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9)%7D%CF%89)$
? ? 1,2,2,3,1,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A92)$ ，可以發(fā)現(xiàn)用1,2做分隔，表示了在ψ里面加起來(lái)
????1,2,2,3,1,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9%CF%89)$
????1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%2B1%7D)$ ，沒(méi)錯(cuò)，1,2,2,3就是OCF里面的Ω
????1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%2B%CF%89%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A92%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%CF%89%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%5E2%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%5E%CF%89%7D)$
? ? 1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%5E%CE%A9%7D)$

????在1,2,2,3的后面，緊跟的東西就是在ψ里對(duì)Ω的運(yùn)算，這樣下來(lái)，1,2,2,3,1,2,2,2,3是BHO就顯得合理了。

????在OCF中，1,2,2,3之后，1,2,2,X實(shí)質(zhì)上就是ψ(X)；也就是說(shuō)，1,2,2,3之后發(fā)生的變化，是給序列套上了一個(gè)ψ外殼。
????1,2,2,3,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A9%2B1%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A9%2B2%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A92%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,3,2= $%CF%88(%CE%B6_%7B%CE%A9%2B1%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%CF%89)$
????在Ω?面前，1,2,2,3逐漸顯得無(wú)力
????1,2,2,3,1,2,2,2,3,3,4,2,3,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88(%CE%A9_2)%7D)$
????1,2,2,3,1,2,2,3=1,2,2,3,1,2,2 2,3,3,4,2,3,3 3,4,4,5,3,4,4,...= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%CE%A9)$
????1,2,2,3,2= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9%CF%89%7D)$
????1,2,2,3,2,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9%5E2%7D)$
????1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2)%7D)$
????1,2,2,3,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,4,5=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2)%7D)%7D)$
????1,2,2,3,3= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D)$

????1,2,2,3,3出現(xiàn)了。現(xiàn)在，原本充當(dāng)Ω的1,2,2,3，現(xiàn)在該用來(lái)表示ψ?了。
????1,2,2,3,3,1,2,1,2,2,3,2,3,3,4,4,2，等于? ? ? ? ? ? ? ?? $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D%2B%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D)%7D%CF%89)$
????1,2,2,3,3,1,2,1,2,2,3,3，就可以順利成為? ? ? ? ? ? $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D2)$
????有了ψ?的鋪墊，1,2,2,3,3,1,2,2,2,3和1,2,2,3,1,2,2,2,3類似，可以到達(dá) $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A9_2%2B1%7D)$
????1,2,2,3,3,3， $%CF%88(%CE%A9_3%5E%7B%CE%A9_3%7D)$ ，同樣地，1,2,2,3,3會(huì)表示ψ?
????現(xiàn)在結(jié)果很明顯了，1,2,2,3,3,3,4=1,2,2,3,3,3,3,3,3,3,...，是BO， $%CF%88(%CE%A9_%CF%89)$

? ? ?1,2,2,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%CE%A9)$ ，1,2,2,3,3,4,4,5=? ? ? ? ? ? ?? $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A9_%CE%A9%7D)$ ，...

????1,2,3=1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,...，達(dá)到OFP，即 $%CF%88(%CF%88_I(I))$ 。

5：解鎖反射序數(shù)記號(hào)

????在1,2,3之后，序列的結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，同時(shí)IUN的最后一個(gè)規(guī)定出現(xiàn)。
????1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5，末后繼元是5，待壞項(xiàng)是“4”，序列中顯然沒(méi)有單獨(dú)的“1”“2”“3”或“4”，不過(guò)這里的壞根依然不是首項(xiàng)。前面提到“找兩個(gè)相同后繼元的展開方式稱為等差展開”，為什么叫“等差展開”？就是因?yàn)檫@兩個(gè)后繼元可以是不相同的，是等差的也可以；這個(gè)所謂的等差，指的是：兩個(gè)后繼元的首項(xiàng)與整個(gè)序列的末項(xiàng)-1成等差數(shù)列，同時(shí)兩個(gè)后繼元的項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)的差是相等的。
????看向1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5，2,3,4和3,4,5，這兩個(gè)后繼元是等差的，同時(shí)其首項(xiàng)2,3也和最后一項(xiàng)-1成等差，因此其中的后一個(gè)后繼元的首項(xiàng)是壞根，即1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5=1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,...

????另外，這兩個(gè)等差的后繼元中，后一個(gè)后繼元可以不是完整的后繼元，但這種情況只能是與末項(xiàng)組成完整的后繼元，如1,2,3,3,4,4,5,6=1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,...

????在使用I分析之前，可以先用相對(duì)簡(jiǎn)單的Φ函數(shù)。 $%CE%A6(n)%3D%CE%A9_n$ ， $%CE%A6$ 其余的規(guī)則與 $%CF%86$ 相同。
????1,2,3= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0))%3D%CF%88(I)$
? ? 1,2,3,1,2,1,2,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0))%5E2$
?1,2,3,1,2,1,2,2,2,3,4,1,2,2,2,3=? ? ? ?? $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%2B%CE%A9)$
? ??1,2,3,1,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%2B%CE%A9%5E%CE%A9)$
????1,2,3,1,2,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)2)$
????1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%CF%89)$
?1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%5E2)$
? ? 1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)%2B1%7D)$
? ? 1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)2%7D)$
? ? 1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,3,4,5= $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)%5E2%7D)$
????1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,3,4,5,2,3,3,3,4=? ? ? ? ?? $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)%2B1%7D%7D)$
? ? 1,2,3,1,2,1,2,3= $%CF%88(%CE%A6(1%2C1))$ = $%CF%88(I2)$
? ? 1,2,3,1,2,2= $%CF%88(I%CF%89)$
? ? 1,2,3,1,2,2,1,2,3= $%CF%88(I%5E2)$
? ? 1,2,3,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7BI%2B1%7D)$
? ? 1,2,3,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7BI%2B1%7D%5E%CE%A9)$ 參考1,2,2,3,1,2,2,3
? ? 1,2,3,1,2,2,3,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%7BI%2B%CF%89%7D)$
? ? 1,2,3,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%7BI2%7D)$
? ? 1,2,3,1,2,3= $%CF%88(I_2)$
? ? 1,2,3,2= $%CF%88(I_%7B%CF%89%7D)$
? ? 1,2,3,2,3,= $%CF%88(I_%7B%CE%A9%7D)$
? ? 1,2,3,2,3,2,3,4= $%CF%88(I_%7BI%7D)$
? ? 1,2,3,2,3,3= $%CF%88(I(1%2C0))$
? ? 1,2,3,2,3,3,3= $%CF%88(I(2%2C0))$
? ? 1,2,3,2,3,3,4,5= $%CF%88(I(I%2C0))$
? ? 1,2,3,2,3,4= $%CF%88(I(1%2C0%2C0))$