這個(gè)公式應(yīng)該是實(shí)數(shù)理論之后，遇到的第一個(gè)證明稍微有些復(fù)雜的公式，并且其中有一步配湊的方法和思路如果沒遇到過，不是太容易想到，老碧會(huì)標(biāo)注出來(lái)。

這個(gè)公式本身對(duì)于解決數(shù)列的不定式，又是極其十分好用的，所以有可能的話，這個(gè)公式最好盡可能地牢牢記住。

之后的內(nèi)容直到Ep50應(yīng)該都不會(huì)遇到什么特別難的證明了。

33Stolz公式

Stolz公式如下——

1. 對(duì)于∞/∞型的“不定式”xn/yn，其中——

2. 存在自然數(shù)N"，使得n>N"時(shí)，yn是單增數(shù)列，即，yn+1>yn；

3. 在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]為有限值或趨向于無(wú)窮的情況下；

4. 公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn/yn-1）]成立。

其中1~3是條件，4是結(jié)論。

顯然這個(gè)公式具有以下特點(diǎn)——

1. 適用于∞/∞型的“不定式”xn/yn；

2. 對(duì)于n>N"，分母yn是單增數(shù)列，則，yn-yn-1>0；

3. 由2，yN"+1-yN">0，yN"+2-yN"+1>0，……，yn-yn-1>0；

4. 由3，不等式各項(xiàng)左右相加，yn-yN”>0。

其中3、4是證明中需要用到的條件之一。

因?yàn)槭菑?span id="s0sssss00s" class="color-default">lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]的值得到lim（xn/yn）的值，我們最重要的是在（xn-xn-1）/（yn-yn-1）與xn/yn這兩個(gè)式子之間建立聯(lián)系。

條件中指出了極限的可能性為有限或者無(wú)窮，不妨分類討論——

1.lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=l——趨向于有限值。

1. 由數(shù)列極限的定義——lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=l，即對(duì)于任意e>0，存在自然數(shù)N'，使得n>N'時(shí)，|（xn-xn-1）/（yn-yn-1）-l|<e，即l-e<（xn-xn-1）/（yn-yn-1）<l+e；

2. 我們已知條件，存在自然數(shù)N"，當(dāng)n>N"，yN"+1-yN">0，yN"+2-yN"+1>0，……，yn-yn-1>0；

3. 由1、2，令N=max{N'，N"}，當(dāng)n>N時(shí)，（l-e）（yn-yn-1）<（xn-xn-1）<（l+e）（yn-yn-1），即（l-e）（yN+1-yN）<（xN+1-xN）<（l+e）（yN+1-yN），（l-e）（yN+2-yN+1）<（xN+2-xN+1）<（l+e）（yN+2-yN+1），……，（l-e）（yn-yn-1）<（xn-xn-1）<（l+e）（yn-yn-1）；

4. 3中各式同側(cè)相加，不等號(hào)依然成立，消去相同項(xiàng)，得到：（l-e）（yn-yN）<（xn-xN）<（l+e）（yn-yN），即|（xn-xN）/（yn-yN）-l|<e；

5. 由此我們得到一個(gè)與xn/yn相關(guān)的新的數(shù)列極限lim [（xn-xN）/（yn-yN）]=l；

6. 我們做一個(gè)簡(jiǎn)單的變換即可得到，令xn/yn-l=?[（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+A/yn；

7. 我們用待定系數(shù)法求A，6中左邊=xn/yn-l=（xn-ynl）/yn，右邊=?[（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+A/yn=（xn-xN+A）/yn-?（yn-yN）l/yn=[（xn-xN+?A）-（yn-yN）l]?/yn；

8. 由7，左邊=右邊，即xn-ynl=（xn-xN+?A）-（yn-yN）l，即0=（-xN+?A）+yN*?l?，則A=xN-yN*?l?；

9. 由6、8得到，xn/yn-l=?[（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+A/yn=?[（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+（xN-yN*?l）/yn=?（1-yN/yn）[（xn-xN）/（yn-yN）-l]+（xN-yN*?l）/yn；

10. 9中式子分兩項(xiàng)，我們逐項(xiàng)分析——

    a.所有下標(biāo)含N的字母都為常數(shù)，l為常數(shù)，{yn}為無(wú)窮大，我們得到——

    b.lim（1-yN/yn）=1，lim [（xN-yN*?l）/yn]=0；

    c.由極限運(yùn)算性質(zhì)可得：lim（xn/yn-l）=lim{（1-yN/yn）[（xn-xN）/（yn-yN）-l]+（xN-yN*?l）/yn}=lim（1-yN/yn）lim[（xn-xN）/（yn-yN）-l]+lim?[（xN-yN*?l）/yn]=lim[（xn-xN）/（yn-yN）-l]=lim[（xn-xN）/（yn-yN）]-l=0；

11. 即lim（xn/yn）=l，得證。

其中藍(lán)字部分是難點(diǎn)！

2.lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞——趨向于無(wú)窮——負(fù)無(wú)窮可由正無(wú)窮直接推得——

1. 由數(shù)列極限的定義——lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞，即對(duì)于任意E>0，存在自然數(shù)N'，使得n>N'時(shí),（xn-xn-1）/（yn-yn-1）>E>0；

2. 我們已知條件，存在自然數(shù)N"，當(dāng)n>N"，yN"+1-yN">0，yN"+2-yN"+1>0，……，yn-yn-1>0；

3. 由1、2，令N=max{N'，N"}，當(dāng)n>N時(shí)，（xn-xn-1）>E（yn-yn-1）>0，即（xN+1-xN）>E（yN+1-yN），（xN+2-xN+1）>E（yN+2-yN+1），……，（xn-xn-1）>E（yn-yn-1）；

4. 3中各式同側(cè)相加，不等號(hào)依然成立，消去相同項(xiàng)，得到：（xn-xN）>E（yn-yN），即xn>Eyn-EyN+xN；

5. 已知{yn}為正無(wú)窮大量，則易證{Eyn-EyN+xN}也是正無(wú)窮大量，所以{xn}也是正無(wú)窮大量；

6. 又由3，（xn-xn-1）>0，{xn}單增；

7. 由1、5、6：lim（yn/xn）=lim?[（yn-yn-1）/（xn-xn-1）]=0；

8. 由5、7，lim（xn/yn）=+∞。

推論——lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=-∞的情形：

1. 由數(shù)列極限的定義——lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=-∞；

2. 構(gòu)造數(shù)列{zn}，其中zn=-xn，則lim?[（zn-zn-1）/（yn-yn-1）]=lim{?[（-xn）-(-xn-1）]/（yn-yn-1）}=-lim?[（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞；

3. 所以lim（zn/yn）=+∞；

4. lim（xn/yn）=-∞。

明天講Stolz公式的習(xí)題！