本文部分內(nèi)容參考《數(shù)學(xué)的源與流（第二版）》作者：張順燕 高等教育出版社

前幾篇我們已經(jīng)了解了有理數(shù)和無理數(shù)，知道了形如p/q（p、q為整數(shù)，q≠0）的數(shù)是有理數(shù)、無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)等等，也學(xué)習(xí)了有理數(shù)、無理數(shù)的計(jì)算

也許很多復(fù)雜的算式大家都會計(jì)算、證明，但問起一個簡單粗暴的問題，很多人就懵了

為什么√2是無理數(shù)？

要解決這個問題，我們要從素數(shù)說起

素數(shù)，又叫質(zhì)數(shù)，它的因數(shù)只有1和它本身，這個概念我們在小學(xué)就學(xué)過，2是最小的素數(shù)，素數(shù)的分布沒有規(guī)律，或者說規(guī)律太復(fù)雜了，至今也沒有簡明的方式來表達(dá)。

接下來我們要說因式分解，因式分解，就是把一個數(shù)（或式子）分解為多個數(shù)（或式子）的乘積，顯而易見，素數(shù)a的因式分解是1·a，1可以省略，就是a

但是其他的數(shù)就不一樣了，如4，它分解后是2·2，有兩個。如27分解后是3·9，但9還可以分解為3·3，也就是說分解出來的多個因數(shù)，都是素數(shù)，進(jìn)一步地講

“每一個大于1的整數(shù)，要么是素數(shù)，要么是若干素數(shù)的積”

于是算數(shù)基本定理就出現(xiàn)了：

“一個數(shù)的素因數(shù)分解式是唯一的”

另外探究一會就會發(fā)現(xiàn)，平方數(shù)分解后的素因數(shù)的數(shù)量是偶數(shù)

現(xiàn)在我們就可以來證明√2是無理數(shù)了

要證明√2是無理數(shù)，可以利用反證法，即證明√2不是有理數(shù)

又因?yàn)橛欣頂?shù)可以表示為p/q的形式，我們直接假設(shè)√2＝p/q（p、q為整數(shù)）

兩邊同時乘以q，再平方：

2q2＝p2

如果√2是有理數(shù)的話，這個等式應(yīng)該是成立的，又因?yàn)閜、q是整數(shù)，所以q2、p2是平方數(shù)

平方數(shù)分解后的素因數(shù)個數(shù)是偶數(shù)，我們就假設(shè)q2的因子有2b個

但是q2前面有個2，也就是說，2q2有2b+1個因子

等式的性質(zhì)，再加上算數(shù)基本定理——素因數(shù)分解式是唯一的，p2的因子個數(shù)也是2b+1，但p是整數(shù)啊，p2是平方數(shù)啊，因子個數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)啊，2b+1怎么看都不可能不是奇數(shù)（0除外，不然原式無意義）

這個等式兩邊互相矛盾了，這個等式是錯誤的，因此√2不能用有理數(shù)的形式來表示，它就不是有理數(shù)!

也許有點(diǎn)復(fù)雜，但多看幾遍一定能懂

為了加深影響，大家模仿我這個方法，嘗試證明

1.√7是無理數(shù)

2.√22是無理數(shù)

吧～

本篇結(jié)束，下一篇：淺談進(jìn)制

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