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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

在這篇文章中，我想介紹?現(xiàn)代投資組合理論 (MPT)、?有效邊界?以及它對(duì)投資組合構(gòu)建的一些影響。

我對(duì)如何設(shè)計(jì)和構(gòu)建投資組合非常感興趣。盡管?現(xiàn)代投資組合理論?有其局限性，但它仍然很好地介紹了投資組合構(gòu)建和投資組合理論。

第一部分將簡(jiǎn)要回顧理解MPT?及其含義?所需的一些數(shù)學(xué)和概念?。

第二部分?將討論?MPT?和?有效邊界。

第三部分?將深入探討使用真實(shí)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的 Python 實(shí)現(xiàn)。我將在這部分博客中使用我之前構(gòu)建的數(shù)據(jù)倉(cāng)庫(kù)。

第一部分

讓我們討論投資組合收益、投資組合標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)性和夏普比率。?現(xiàn)代投資組合理論?建立了一種構(gòu)建組合資產(chǎn)組合的方法，因此我們將在相同的背景下定義這些概念。

讓我們使用具有以下標(biāo)準(zhǔn)的虛構(gòu)投資組合：

• 我們的投資組合包含三個(gè)資產(chǎn)：A、B 和 C。

• 每個(gè)持股在我們的投資組合中的權(quán)重相同（每個(gè) 33%）。

• 持股 A、B 和 C 的期望收益率分別為 5%、8% 和 10%。

投資組合收益

要計(jì)算投資組合的期望收益，我們只需將每只股票的期望收益乘以它們?cè)谖覀兺顿Y組合中的權(quán)重，然后將所有部分相加。在這種情況下，我們的權(quán)重總和為 1.0，期望收益將代表一個(gè)百分比。

使用我們虛構(gòu)投資組合的信息：

投資組合標(biāo)準(zhǔn)偏差——又名投資組合風(fēng)險(xiǎn)或波動(dòng)率

人們會(huì)認(rèn)為計(jì)算投資組合標(biāo)準(zhǔn)差與投資組合收益相同，但這就是?現(xiàn)代投資組合理論的一些魅力所在?。

投資組合標(biāo)準(zhǔn)差不是每只股票的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重乘以其權(quán)重的總和，還必須考慮每只股票與所有其他股票的相關(guān)性。

讓我們用符號(hào)'σ'表示標(biāo)準(zhǔn)偏差??，將兩種資產(chǎn)之間的相關(guān)性表示為 '?Corr(x,y)?' 并將權(quán)重表示為?'w'。

在三資產(chǎn)組合中，我們將按如下方式計(jì)算投資組合標(biāo)準(zhǔn)差：

上面的公式看起來(lái)很簡(jiǎn)單。

如果我們?cè)谖覀兊耐顿Y組合中引入第四種資產(chǎn)，即資產(chǎn)“D”，我們將簡(jiǎn)單地?cái)U(kuò)展我們的公式：

相關(guān)性

我不會(huì)深入研究如何計(jì)算相關(guān)性，但我確實(shí)想討論它如何影響個(gè)別證券。

在兩個(gè)資產(chǎn)的簡(jiǎn)單例子中，x和y，相關(guān)性將衡量資產(chǎn)y相對(duì)于資產(chǎn)x的變化程度，這個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)可以是正的或負(fù)的，范圍從-1.0到+1.0。

兩種資產(chǎn)的相關(guān)公式將產(chǎn)生一個(gè)相關(guān)系數(shù)（也被稱(chēng)為 "r"），這個(gè)數(shù)字是一個(gè)數(shù)值，將告訴我們兩種資產(chǎn)之間的關(guān)系有多強(qiáng)。

-0.8 相關(guān)性意味著每次“?x”?增加 1 元，“?y”?將減少 0.80 元。對(duì)于 +0.80 的相關(guān)性，情況正好相反。0.0 的相關(guān)性告訴我們，兩種資產(chǎn)之間沒(méi)有任何線性關(guān)系。

夏普比率

我想介紹?夏普比率?，因?yàn)樵诮酉聛?lái)的工作中，我們將嘗試分離出?夏普比率最高的投資組合。該比率為我們提供了如何比較具有不同收益和風(fēng)險(xiǎn)的不同投資組合的基礎(chǔ)。

為了計(jì)算?夏普比率，?我們將投資組合收益減去無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，然后除以投資組合的?標(biāo)準(zhǔn)差?。

想象一下以下兩個(gè)投資組合：

• 投資組合 A：期望收益率為 10%，投資組合標(biāo)準(zhǔn)差為 5%。

• 投資組合 B：期望收益率為 15%，投資組合標(biāo)準(zhǔn)差為 10%。

哪個(gè)投資組合更好？

盡管投資組合 B 具有更高的期望收益，但如果我們根據(jù)投資組合風(fēng)險(xiǎn)比較這些投資組合，實(shí)際上是投資組合 A 具有更好的“風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后”收益。

第二部分

現(xiàn)代投資組合理論

1952 年，Harry Markowitz 博士撰寫(xiě)了題為“投資組合選擇”的論文。他的理論基于以下關(guān)于投資者的假設(shè)：

• 每個(gè)投資者的目標(biāo)都是在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化收益。

• 通過(guò)個(gè)別的、不相關(guān)的證券使投資組合多樣化，可以降低風(fēng)險(xiǎn)。

• 所有投資者都可以使用相同的信息。

當(dāng)時(shí)，投資者主要圍繞期望收益建立投資組合。Markowitz 解釋說(shuō)，通過(guò)結(jié)合低相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，可以實(shí)現(xiàn)比單獨(dú)持有一項(xiàng)資產(chǎn)更好的整體投資組合，或者比簡(jiǎn)單地選擇具有最高期望收益的股票更好。

Markowitz 的整個(gè)論文將相關(guān)性納入投資組合構(gòu)建中。這允許使用高風(fēng)險(xiǎn)和低相關(guān)資產(chǎn)構(gòu)建投資組合，同時(shí)與單獨(dú)擁有每個(gè)單獨(dú)的證券相比，為投資者提供整體較低的投資組合風(fēng)險(xiǎn)！

什么被認(rèn)為是“更好”的整體投資組合？

“更好”的投資組合被定義為在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化收益的投資組合。風(fēng)險(xiǎn)被定義為我們?cè)?第一部分中介紹的投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)現(xiàn)代投資組合理論建立投資組合

要建立基于?MPT的投資組合，投資者需要以下數(shù)據(jù)：

• 資產(chǎn)的期望收益，E(r)。

• 資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差，σ

• 資產(chǎn)與投資組合中持有的其他資產(chǎn)的相關(guān)性，corr(X,Y)

使用上述數(shù)據(jù)，我們可以為每種資產(chǎn)隨機(jī)分配不同的權(quán)重，并計(jì)算該特定投資組合的收益和標(biāo)準(zhǔn)差。

投資組合示例

在下圖中，您會(huì)發(fā)現(xiàn) 50,000 個(gè)不同的投資組合，由四種股票組成：股票代碼分別為：NOC、AAPL、MSFT、MMM。底軸（x 軸）是投資組合的計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差），左軸（y 軸）是投資組合的期望收益。

每次隨機(jī)生成投資組合時(shí)，它都會(huì)為我們的四只股票中的每一種分配不同的權(quán)重，然后計(jì)算投資組合的收益和標(biāo)準(zhǔn)差。

通過(guò)運(yùn)行 50,000 次隨機(jī)模擬，我們可以看到一個(gè)看起來(lái)像子彈形狀的圖。我們生成如此多的投資組合的原因是，我們可以嘗試找到最優(yōu)的投資組合權(quán)重，從而在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化我們的收益。

每次我們生成一個(gè)隨機(jī)投資組合時(shí)，每只股票的權(quán)重都會(huì)發(fā)生變化。在某些投資組合中，蘋(píng)果可能占投資組合的 20%、投資組合的 75% 甚至是投資組合的 1%，對(duì)于我們資產(chǎn)組合中包含的所有其他股票也是如此。但是，所有權(quán)重的總和始終等于 1。

這是一張圖表，說(shuō)明了 50,000 個(gè)隨機(jī)生成的投資組合：

x 軸：投資組合波動(dòng)率（風(fēng)險(xiǎn)），y 軸：投資組合收益

為了進(jìn)一步說(shuō)明我們的示例，假設(shè)在我們生成的 50,000 個(gè)隨機(jī)投資組合中，投資者想要風(fēng)險(xiǎn)不超過(guò) 20% 的投資組合（垂直繪制在 x 軸上的 0.20 標(biāo)記處）。位于這條線右側(cè)的所有投資組合都將被忽略，位于這條線左側(cè)的所有投資組合都是可接受的投資組合。

在 0.2 處繪制黃線時(shí)，??MPT?推測(cè)投資者會(huì)選擇在這條線上具有?最高?收益的投資組合。在這種情況下，這將是我們的兩條線相交的地方。應(yīng)該根據(jù)?MPT?選擇精確的投資組合，以使所選風(fēng)險(xiǎn)?水平?的收益最大化?。

對(duì)于給定的投資組合風(fēng)險(xiǎn)水平，在我們曲線的頂部邊緣最大化收益的所有其他投資組合呢？

進(jìn)入有效邊界

有效邊界是一條在每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)水平上都遵循最高收益的曲線。在下圖中，有效邊界是紅色曲線。

根據(jù)?MPT的說(shuō)法，除了沿著這條曲線找到的投資組合之外，任何投資者都不應(yīng)該投資于投資組合。

第三部分

Python 實(shí)現(xiàn)

現(xiàn)在讓我們回顧一下這個(gè)實(shí)現(xiàn)中使用的一些 Python 代碼，并嘗試生成一些新的有效邊界。

于以下代碼，使用以下規(guī)范創(chuàng)建一個(gè) pandas 數(shù)據(jù)框“dta”??：

• dfta：每列是個(gè)股的價(jià)格，按日期排序。就我而言，數(shù)據(jù)框的索引是參考日期。

1. 


2. import seaborn as sns# 生成我們市場(chǎng)數(shù)據(jù)的每日收益率

3. dans = df_mage()# 生成我們每日收益率的相關(guān)矩陣df

4. tns.corr()# 使用seaborn生成一個(gè)熱圖

5. heatmap(corre)

上面的代碼將生成一個(gè)漂亮的表格來(lái)可視化每只股票的相關(guān)性。在?第一部分中，需要相關(guān)性來(lái)計(jì)算投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。

相關(guān)性熱圖

下面是用于生成我們的有效邊界圖和 50,000 個(gè)隨機(jī)投資組合的代碼。

1. 


2. col = coy * 252for sio in range（nuos）:

3. 


4. 


5. 利潤(rùn)率=收益率/波動(dòng)率

6. pots.append(reuns)

7. potity.append(votty)

8. stts.append(eihs)# 每個(gè)投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)值

9. portfolio = {'Returns': orttrns,

10. 'Volatility': potvtilty,

11. '夏普比率': shp_tio}。

12. 


13. 


14. # 數(shù)據(jù)框架

15. df = pd.DataFrame

16. 


17. # 為所需的列的安排獲得更好的標(biāo)簽

18. 


19. df = df[cm_der]

現(xiàn)在，為了生成一個(gè)漂亮的有效邊界圖，讓我們找到夏普比率最高的投資組合和波動(dòng)率最低的投資組合。

1. ma_a_row = df.iloc[df['夏普比率'].idxmax()] 。

2. maxhr_TN = mashrow_['收益率']

3. maha_VOL = m_hae_o_['Volatility']

4. 


5. plt.scatr

6. plt.corar(label='夏普比率')

7. plt.scaer(ma_p_OL, axhpTN, c='red', s=50)

8. plt.sow()

上方點(diǎn)：夏普比率最高的投資組合，下方點(diǎn)：波動(dòng)率最低的投資組合。

我們對(duì) 50000 個(gè)隨機(jī)生成的投資組合進(jìn)行了很好的可視化，并帶有兩個(gè)額外的點(diǎn)。回想一下，上方的點(diǎn)代表具有最高夏普比率的投資組合，而下方的點(diǎn)代表我們具有最低風(fēng)險(xiǎn)（波動(dòng)性）的投資組合。

讓我們檢查一下從我們最初的四只股票中產(chǎn)生這些投資組合的權(quán)重。

結(jié)論

MPT?的主要限制之一是它使用歷史（過(guò)去）數(shù)據(jù)。根據(jù)歷史收益、相關(guān)性和風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）創(chuàng)建投資組合，并不能保證未來(lái)看起來(lái)是一樣的。

然而，MPT確實(shí)為我們提供了一些非常有用的好處，如資產(chǎn)配置、多樣化和投資組合再平衡。

• 資產(chǎn)配置?允許投資者根據(jù)他們的年齡和財(cái)務(wù)目標(biāo)設(shè)定一定的風(fēng)險(xiǎn)。

• 多元化?有助于評(píng)估高風(fēng)險(xiǎn)、低相關(guān)性資產(chǎn)作為一個(gè)整體投資組合，并以易于理解和評(píng)估的方式（風(fēng)險(xiǎn)和收益）。

• 投資組合再平衡?為投資者提供路線圖，以定期審查其當(dāng)前的投資組合，并在需要時(shí)幫助重新調(diào)整頭寸。

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