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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

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本文中，我們討論了一個將Poisson過程與Wiener過程結(jié)合在一起的最佳算法的問題。實際上，為了生成泊松過程，我們總是習慣于模擬跳躍之間的持續(xù)時間。我們使用給定時間間隔內(nèi)跳躍的均勻性，該條件取決于跳躍的次數(shù)。

首先，我們可以生成一個可能具有漂移的維納過程，然后在其旁邊，我們可以生成指數(shù)定律（這將對應于跳躍之間的時間），還可以生成跳躍幅度 。我們在這里

要么?

。我們首先通過注意

其中增量是高斯（均值和方差），并且彼此獨立。至于跳躍之間的持續(xù)時間，它們是獨立的平均指數(shù)定律。這是代碼，

1. n=1000

2. h=1/n

3. lambda=5

4. set.seed(2)

5. W=c(0,cumsum(rnorm(n,sd=sqrt(h))))

6. W=rexp(100,lambda)

7. N=sum(cumsum(W)<1)

8. T=cumsum(W[1:N])

9. X=-rexp(N)

問題是對于維納過程，我們必須離散化，而對于復合泊松過程，我們不能離散化。但是，他們有相同的時間范圍。第一種方法是建立trunc函數(shù)?

1. 


2. W[trunc(n*t)+1]+sum(X[T<=t])+lambda*t

3. 


然后可視化

1. L=Vectorize(Lt

2. 


3. plot(u,L(u),type="l

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?

另一種可能性是使用我在引言中提到的泊松過程的均勻性。因為泊松過程滿足一個特性：如果是第i個跳躍發(fā)生的日期，則有條件基于以下事實：?

，變量?

?對應于的訂單統(tǒng)計?

?獨立變量，是均勻分布

該屬性可在?Wolff（1982）中找到。我們從一個（單個）跳躍開始，

?

即我們找到一個統(tǒng)一的分布函數(shù)。然后，我們進行2跳，3跳等迭代。

這個想法的R翻譯很簡單

N=rpois(1,lambda)

然后，一種策略是離散化Poisson過程，與Wiener過程的時間步長相同，

1. indice=trunc(T*n

2. processus=W+cumsum(saut)+lambda*u

我們發(fā)現(xiàn)與以前相同的軌跡

?

通過此過程，我們不能在同一時間間隔內(nèi)有兩次跳躍。泊松過程的特征是

?

因此，極少有機會同時進行兩次跳躍，尤其是在時間步長較小的情況下。如果我們生成數(shù)千條軌跡，那么一次出現(xiàn)問題的可能性就可以忽略不計。

有一個主意是采用離散均勻分布，

T=c(0,sort(sample((1:(n-1)/n),size=N,replace=FALSE)))

以避免同時發(fā)生兩次跳躍。

為此，我們可以做一些測試。例如，生成一些模擬以具有一百次跳躍（因此兩次跳躍之間的持續(xù)時間為一百次），然后進行指數(shù)定律檢驗。

1. VT=0

2. for(ns in 1:20){

3. N=rpois(1

我們在這里做了20個循環(huán)

lambda=5

我想進行一百次觀察來進行檢驗。然后，我們可以進行指數(shù)擬合檢驗，

ks.test(VT[-1],"pexp",lambda)$p.value

如果我們重復很多次，則通過更改時間步長（或時間間隔的細分數(shù)），實際上，如果時間步長很大（在左下方），我們將通常拒絕，指數(shù)定律也是如此。但是很快，這是一個不成立的假設，

?

?

我們有兩個不錯的算法來生成萊維過程。

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