編者按

很多國家高度重視青少年人才培養(yǎng)，美國、俄國、德國、法國、英國、以色列等國家采取了各不相同的措施，均取得了非常顯著的效果。而中國對這方面的了解還比較欠缺，很多人甚至盲目地以為我國的數(shù)學教育水平比國外高。

為了直接和準確地了解這些國家的數(shù)學基礎教育特別是中學數(shù)學人才培養(yǎng)的情況，2012年，中國數(shù)學會教育委員會組織了教育代表團（成員為首都師范大學李克正、李慶忠教授，北京師范大學王昆揚、張英伯教授，北師大第二附屬中學金寶錚老師和實驗中學姚玉平老師），在國際數(shù)學教育協(xié)會（ICME）協(xié)助下，于2012年5月19日至2012年6月9日訪問了法國、英國和以色列，得到了各國中學數(shù)學教育方面重要的第一手資料。

我們前不久刊發(fā)了《英國中學數(shù)學人才培養(yǎng)考察報告》《法國數(shù)學何以如此出色？法蘭西英才教育考察報告》，今天推出由張英伯教授執(zhí)筆的以色列篇。本文原載于2012年《數(shù)學與教育》（數(shù)學與人文第五輯)，已獲作者授權(quán)轉(zhuǎn)載。

撰文?|?張英伯（北京師范大學數(shù)學科學學院）

2012年6月3-11日，北京師范大學附屬第二中學的金寶錚老師，實驗中學的姚玉平老師，北師大數(shù)學科學學院的王昆揚教授和我在訪問了法國和英國之后，赴以色列考察他們的數(shù)學英才教育。
從北京出發(fā)之前，我們幾個人都分別得到了警告：那里不安全，馬上要和伊朗打仗了。
到達特拉維夫機場，安排我們訪問的Zvi Arad教授攜夫人、Bernard Pinchuk教授已經(jīng)等在出口。我們分兩組坐上他們的汽車前往內(nèi)坦亞（Netanya）。汽車穿過首都特拉維夫時，車窗外的街道綠樹成蔭，街道兩旁現(xiàn)代化的建筑林立，隨處可見大型超市，以及國際知名公司的大樓，這是以色列一座新興的大城市。出了特拉維夫，汽車一直沿海濱的高速公路行駛。內(nèi)坦亞是一座新建的海濱小城，為我們安排的旅館正對著大海。
放下行李，我們馬上穿過一條小馬路，來到海濱。湛藍的地中海一望無垠，蔚藍的天空透明潔凈，與遠方的大海連成一條美麗的弧線，這純潔的藍色讓人神往，令人心醉，如此的靜謐與平和，使流連海灘的人們不忍離開。
美麗的海灘很難讓人聯(lián)想到戰(zhàn)爭。然而幾天以后，我們在海灘上遇到了一隊跑步的士兵，男孩和女孩都背著沉重的背包和長長的槍支，一張張年輕的臉龐透著稚氣，看著都讓人心疼。聽Arad教授介紹，我們隔壁的一座賓館，兩年前曾被炸成灰燼，200多人遇難。戰(zhàn)爭的煙云，至今仍然籠罩著世界上的許多地方。
第二天早晨，一輛出租車等在旅館門口把我們送到內(nèi)坦亞學院（Natanya College），Arad教授是這個學院的創(chuàng)始人和院長。Zvi Arad是一位代數(shù)學家，研究群論，發(fā)表過90多篇文章，3部專著作，是Table Algebra領域的學術(shù)帶頭人。他還擔任多種代數(shù)期刊的編委，創(chuàng)建過兩個研究所，擔任過以色列國家高等教育委員會委員，并且在與德國、俄國、中國的學術(shù)交流中起到過舉足輕重的作用。

Zvi Arad教授
Arad的雙親在二戰(zhàn)期間從波蘭逃難到巴勒斯坦地區(qū)，（那時以色列還沒有建國），就在祖先的土地上定居下來了。Arad的組織能力也很出色，曾經(jīng)做過系主任，理學院院長，巴依蘭大學校長，那可是全校的教授選舉產(chǎn)生，大學董事會討論通過的。應內(nèi)坦亞市政府的請求，他于1994年辭去校長職務，在一位企業(yè)家的資助下創(chuàng)建了內(nèi)坦亞學院。我們西南大學的陳貴云教授曾在他那里做過博士后，并邀請他訪問中國，還參與合寫過一本書。貴云說他為人特別有親和力，每天上下班見到同事們，不論是教授、秘書，還是清掃樓道的工人，他都駐足親切地打招呼。怪不得天天接送我們的出租車司機總說Arad是個好人。

內(nèi)坦亞學院校長Arad（左一）和該校教師正在開會
30年前Arad在巴依蘭大學數(shù)學系做教授的時候，倡導和組織了數(shù)學英才項目（The Program for Mathematical Talented Youth），沒有政府的資助，完全靠民間的力量，從零開始逐年做大、做強，得到公眾和政府的認可，在以色列的數(shù)學英才教育中起到了排頭兵的作用。和他一起創(chuàng)業(yè)的Pinchuk教授是一位謙和穩(wěn)重的人，他出生于美國，在那里拿到博士學位，做分析方向，講一口流利標準的美國英語。他們兩個頭頂上都戴著猶太教的小圓帽，我奇怪這么小的帽子怎么能戴著不掉下來呢，Arad低下頭來讓我看，原來是用發(fā)夾固定在頭頂上的。
去年年初，國際數(shù)學教育委員會（ICMI）的執(zhí)委會在北京召開，我向ICMI副主席Mina Teicher表達了我們中國的老師和教授希望深入了解以色列英才教育的愿望，她為我們介紹了這個項目的負責人Zvi Arad教授。實際上在2010年初新西蘭的執(zhí)委會上，Mina已經(jīng)給我詳細地介紹過這個項目。（見《數(shù)學與教育》（數(shù)學與人文第五輯）, 高等教育出版社, 2011）
走進學院的小會議室，長桌上已經(jīng)擺好一盤盤的水果和糕點，每人的座位前都有一份英文文件夾，里面裝著我們的行程，數(shù)學英才項目的起源、組織形式、各種數(shù)據(jù)，每個年級的課程設置，入學考試題目，以及一份教案。真是計劃周密，準備充足。

研討會
我們在長桌的一邊坐下，Arad教授，Pinchuk教授和項目組3位年輕的管理人員坐在對面。其中那位年輕英俊的小伙子名叫Gil，也帶著猶太小圓帽，英語專業(yè)畢業(yè)，我們在出發(fā)之前已經(jīng)通過多次郵件和電話，這份完備的資料應該是他譯成英文的。
第一次會議介紹了英才項目的全貌。以色列的孩子和我們中國一樣，6-12歲上小學（1-6年級），12-15歲上初中（7-9年級），15-18歲上高中（10-12年級），18-21歲服役，見下表的第一、二、三行。表中的第二、三、四行表示英才項目的三個相應部分的年級及年齡：

目前英才項目已經(jīng)在21個城市設點，在2012年，初中項目（School Program）開辦了118個班級，2663名學生；高中項目（High School Program）開辦了72個班級，1459名學生；初高中每班21-25人，在各個城市所設的班內(nèi)學習。大學班（Academic）260名（幾年前只有90名），在特拉維夫、海法、巴依蘭三所大學學習。學生通過嚴格的考試入學，并且逐年通過考試層層淘汰，只有非常有天賦同時非常努力的學生才有可能走完這段艱苦的歷程。
正規(guī)學校的學生在12年級參加國家的統(tǒng)一會考，大約75﹪可以通過，得到中學畢業(yè)證書，英才項目的學生在10年級參加數(shù)學會考，通過率為98﹪，其中有74﹪男生，26﹪女生。正規(guī)學校的學生高中畢業(yè)都要到部隊服役，而英才項目的學生可以推遲一年，19歲參軍，在部隊里他們會被委派在技術(shù)性最強的軍事部門工作，并繼續(xù)在上述三所大學學習研究生課程（不一定是數(shù)學），得到碩士學位，服役3年至21歲。然后選擇自己未來的研究方向，可以在以色列，也可以在世界上任何一個國家攻讀博士學位。這種服役方式，應該是政府對英才項目從國家層面的肯定。
英才項目的教師選拔也很嚴格，大部分是數(shù)學功底非常強、并且經(jīng)驗豐富的中學老師，必須有學士學位，有的還有碩士、博士學位。項目公開招聘教師，經(jīng)過篩選簡歷，面試、試講、第2次面試共4道程序，入選的老師必須經(jīng)過項目培訓才能上崗。他們的工資大約相當于一般學校教師的3倍。
最近8年以來，以色列政府開始在正規(guī)學校實施英才教育，大約從每150人中選拔35人左右組成一個班級，加深各個學科的課程。
第二次會議是由初中項目（enrichment）和高中項目（Bagrut，以色列的一種考試）的負責人（director）分別介紹他們的工作。經(jīng)過30多年的實踐和摸索，英才項目逐步形成了自己獨特的課程體系和課程標準。
初中項目學生的年齡為11-12歲，在正常學校的六年級和初中一年級讀書。這些孩子們在校學習之外每周上一次英才項目的課程，設在下午4點至7點半進行，一共上兩節(jié)課，每節(jié)課90分鐘，中間休息15分鐘。一年的學費是500美元。

六年級（11歲）的課程標準共有八個內(nèi)容。

• 數(shù)論：回文（對稱排列的）數(shù)；數(shù)的關系；中國七巧板；模計算；數(shù)的性質(zhì)；素數(shù)；碼和加密；條碼的數(shù)學。

• 拓撲：莫比烏斯帶。

• 組合與概率。

• 數(shù)學游戲：數(shù)獨（Sudoko，一種日本游戲）；魔方；數(shù)學拼圖（Mathematical puzzles）；年輕的魔術(shù)師；數(shù)列；圖形序列；基于圓的拼圖。

• 幾何證明：折紙；計算面積和不同圖形的周長；圓餅；方塊。

• 數(shù)理邏輯：邏輯拼圖（Logical puzzle）；現(xiàn)實拼圖（Truth puzzle）

• 對策論：Zermelo 定理。

• 圖論：? ?用圖形解決問題。

七年級（12歲）的課標如下：

• 數(shù)論：? ?有特殊性質(zhì)的數(shù)；破解拼圖——單變元方程；定義新的數(shù)學運算；兩種數(shù)系；裴波納切數(shù)列。

• 圖論：? ?柯尼斯堡七橋問題；地圖的著色問題。

• 概率：? ?帕斯卡三角及其在概率問題中的應用。

• 數(shù)學游戲：年輕的魔術(shù)家；拼圖；Hanoi塔問題；數(shù)學填字拼圖；火柴桿拼圖；數(shù)學史；物理—剛體運動，力和動量；拼圖與猶太假日的關系。

• 幾何證明：畢達哥拉斯定理及其應用；幾何證明；全等——通過游戲?qū)嶒灐?/p>

• 數(shù)理邏輯：解決邏輯問題的方法；真實問題；邏輯法則；悖論；數(shù)學解題策略。

• 對策論：Zermolo定理。

• 數(shù)學—科學的王后：DNA的對稱排列。

看得出來，這份課程設置很費了一番心思。孩子們只有十一、二歲，正是天真爛漫，打鬧玩耍的年齡，如何讓這些有天賦的孩子不但喜歡數(shù)學，還能自覺自愿地學習數(shù)學，確實是一項艱巨的挑戰(zhàn)。
英才班的課程年年更新，一方面需要仔細觀察學生喜歡什么，另一方面需要跟上全世界飛速發(fā)展的科學技術(shù)的腳步，不斷汲取新鮮的知識。為我們準備的文件夾里有一份教案：超市的秘密（The Supermarket Mystery），像講故事一樣娓娓道來，介紹了條形碼UPC的板式，識別圖書的ISBN編碼，以及矩陣條形碼。
文件夾里還有一份小學六年級學生進入英才項目的入學試題，共75分鐘，37道題目，內(nèi)容有絕對值計算，分數(shù)化小數(shù)，一元多項式和分式計算，將數(shù)值帶入多項式中的字母，給出一個圖形判斷線段的平行、垂直、角的相等；給出一個圓內(nèi)接等腰直角三角形，問斜邊是否等于兩直角邊之和（沒有平方），底角是否45度，大多為選擇題。
為了提高學生的興趣，老師們想出了種種高招，比如把好朋友分在一個班，學期結(jié)束時請家長來看學生的成果展示，有些題目家長可能做不出來，孩子們就很高興。
高中項目學生的年齡為13-15歲，在正常學校的初中二、初三及高中一年級讀書。第一年與初中項目一樣，在校學習之外每周上一次英才項目的課程，共上兩節(jié)課，每節(jié)課90分鐘，第二年用英才項目的數(shù)學課代替學校的數(shù)學課，但仍然參加學校的數(shù)學考試，第三年連學校的考試也不參加了，但其他課程仍然照常在學校隨班聽講。英才項目每周的課外作業(yè)為5-7小時，老師提供電話咨詢服務，一年的學費是750美元。

第一年（學生13歲，八年級）的課程標準共有三個方向。

• 代數(shù)：冪和根的性質(zhì)；解方程（一元一次和二元一次，一元二次和二元二次，無理方程）；不等式（一次，二次，無理）；指數(shù)和對數(shù)方程；指數(shù)和對數(shù)不等式；方程理論。注釋：代數(shù)是數(shù)學英才項目眾多內(nèi)容的基礎，以便使學生在訓練和練習中養(yǎng)成有計劃的工作習慣，以及對數(shù)學問題清晰的表達。

• 幾何：全等和相似的理論；等腰和等邊三角形；四邊形（矩形、棱形、平行四邊形、正方形、梯形）；圓和多邊形的性質(zhì)。注釋：平面幾何為解析幾何和三角函數(shù)提供了基礎，在這一階段，學生學習數(shù)學證明。

• 解析幾何：兩點間的距離；直線方程；垂線和平行線；點到直線的距離；將一條線截成給定比例的線段；圓和切線。

第二年（學生14歲，九年級）的課標進入了高等數(shù)學。

• 函數(shù)：函數(shù)及其定義域的定義；求函數(shù)的定義域和值域；正、負函數(shù)；確定函數(shù)的增減區(qū)間；通過圖形分析找到函數(shù)的極大、極小點；偶函數(shù)和奇函數(shù)；函數(shù)極限的定義。注釋：第一、二年側(cè)重于初等函數(shù)

• 微分：作為極限的導數(shù)的定義；微分；曲線的切線及其在考察函數(shù)性質(zhì)中的應用；用微分解決極大和極小問題。注釋：包括曲線的軌跡和函數(shù)性質(zhì)的進一步探討。

• 級數(shù)：有限和；無窮算術(shù)和幾何收斂級數(shù)；一般級數(shù)及其極限。注釋：在低年級講述級數(shù)的目的是了解級數(shù)構(gòu)造的法則，我們強調(diào)算術(shù)級數(shù)，因為它能夠幫助學生理解各種級數(shù)的求和運算。

• 數(shù)學歸納法：引言和例子；等式和不等式的練習。注釋：放在級數(shù)之后講授歸納法，因為它對級數(shù)求和非常有用。

• 三角函數(shù)：正三角形的計算；三角恒等式和方程；正弦和余弦定理；用三角函數(shù)解決極大和極小問題。注釋：第一年已講過平面幾何。Bagrut中有時將平面幾何與三角函數(shù)在同一道題目中聯(lián)系起來。這個問題也在解析幾何中平行地講過，以強調(diào)它們之間的聯(lián)系。

• 解析幾何：復習第一年的內(nèi)容。

第三年（學生15歲，10年級）的課標完成了大學工科一年級的數(shù)學課程。

• 向量：學生已經(jīng)在第二年學過三角和解析幾何，因而讓他們這個階段學習向量是能夠接受的。

• 積分：計算面積和體積的可能性；強調(diào)導數(shù)與積分的關系。

• 復數(shù)：學生已經(jīng)有向量和解析幾何的準備。

• 字的問題：起源、工作和混合問題，將問題次序化有利于理解，訓練學生制表以便綜合信息，并產(chǎn)生必要的方程。

• 空間三角函數(shù)：跟在幾何與平面向量課程之后，學生對于三維空間的理解和運算會有困難，我們強調(diào)在一個領域中解決問題可以利用另一個領域已有的方法和工具。

• 概率

• 增長問題：我們將內(nèi)容放在這里，盡管也可以在級數(shù)后面來講。

高中組的學生

項目的director介紹說，在正規(guī)學校，數(shù)學課分成專題一個一個地講，學生不太容易把這些專題聯(lián)系起來。英才項目經(jīng)過多年的摸索，將數(shù)學內(nèi)容整合，比如平面幾何與解析幾何連續(xù)來講，相互之間聯(lián)系緊密，使學生能夠看到數(shù)學的全貌。
會議結(jié)束之后，我們在內(nèi)坦亞學院聽了設在那里的項目點第一年的最后一節(jié)課。任課的女老師穩(wěn)重、干練，長發(fā)過肩，黑色長裙拽地，很像我們中國一些經(jīng)驗豐富的中學女教師的做派。這節(jié)課講對數(shù)函數(shù)，內(nèi)容真是不少，老師語速很快，估計不快根本就講不完。13歲的孩子仍然顯小，稚氣未脫，女孩很少，男孩大多帶著小圓帽，一個個透著機靈勁兒。老師在黑板上寫下對數(shù)的定義，兩個同底對數(shù)的和與差，以及對數(shù)的整倍數(shù)的公式，然后請學生到黑板上演算家庭作業(yè)的習題。孩子們太踴躍了，每個人都爭著舉手發(fā)言，爭著上黑系板演算。大約做了七道題目，包括解對數(shù)方程，對數(shù)不等式，比如：

；

?。
我們還在巴依蘭大學聽了項目第二年的一節(jié)復習課，任課教師是一位經(jīng)驗豐富的男老師，內(nèi)容包括極限，三角函數(shù)、級數(shù)，語速和板書極快。14歲的孩子顯得成熟一些，仍然十分活躍，爭著上黑板解題。題目有：
計算

；解方程

；計算A(n)=1·2+2·22+3·23+…+(2n+1)22n+1；已知三角形ABC在平面直角坐標中，頂點A(0, 0), B(x, 2x)，頂點C位于直線y=x上，求三角形重心的坐標。
其中第二題相當復雜，第三題要用到導數(shù)，第四題用到行列式。
非常遺憾項目第三年的課程已經(jīng)結(jié)束，我們沒有聽成。
英才班的孩子們在各自學校的班級里都是次次考試100分的最好的學生，到了這里可能只能得到70分。他們一進來就面臨著高強度的課程，每節(jié)課連續(xù)90分鐘不休息，對學生無疑是一種嚴峻的挑戰(zhàn)。家長有時也不理解，問為什么水平提得這么高。
特別需要精心處理的是，英才項目的淘汰率很高，每3個月有一次測驗，每升一級都要經(jīng)過嚴格的考試。因而在高中項目第一、二學年的考試之后會有一些學生離開。也有些學生成績較差，老師動員他們離開。盡管孩子走了，少賺了一些美金，項目的老師和主管并不在意。他們說，“我們的目的是追求卓越，不是金錢?！?/span>
為了讓這些孩子回到學校仍然能夠正常地學習，英才初中項目和高中項目的第一年孩子們?nèi)匀辉趯W校跟班上數(shù)學課。另一方面，英才項目不斷地與孩子們的家長和學校取得聯(lián)系，請他們保護孩子的自尊心，不要影響他們的學業(yè)，年幼的孩子絕不能受到傷害。為了這個目的，一些離開的學生甚至可以繼續(xù)在英才班聽課。事實上，孩子們盡管離開了，在英才項目經(jīng)受過的嚴格訓練仍然對他們的數(shù)學學習頗有益處。
面對這些超常聰明的學生，英才項目的老師們也經(jīng)受著挑戰(zhàn)。孩子們喜歡發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，這就要求老師有堅實的知識背景，以及對課程的深刻理解和精心準備。孩子們來自不同的家庭，富有的，貧窮的，家長知識水平高的，沒有太多知識的，宗教信仰為猶太教的，基督教或伊斯蘭教的，老師要了解所有的情況，不斷地與家長溝通，要有強烈的敬業(yè)精神。
我們與英才項目組的最后一次會議在巴依蘭大學的數(shù)學系進行，在三年的高中課程之后，學生們將再一次通過嚴格的考試，進入大學數(shù)學系學習。孩子們前兩年仍然是中學生，在各自原來的學校學習數(shù)學以外的其它課程，每周到大學來兩次，他們是數(shù)學系里最優(yōu)秀的學生。十九歲完成大學學業(yè)之后，他們?nèi)ゲ筷牱鄄⑼瑫r開始碩士階段的學習。當然他們并不是全部選擇數(shù)學，選擇物理、化學或生物學的都有。英才項目的數(shù)學訓練，為他們未來在各個領域的科學研究打下了扎實的基礎。會議過程中，老師打電話請來了一位從英才班畢業(yè)，拿過以色列數(shù)學競賽的金牌，正在巴依蘭大學數(shù)學系攻讀群論方向碩士學位的學生。他高高的個子，長得挺帥，英氣逼人，臉上的稚氣尚未脫盡，沒有穿軍裝。他和我們聊了一會兒，說他的理想是做一名計算機專家，因此博士階段將要去讀計算專業(yè)。

巴依蘭大學校園
我們在巴依蘭大學參觀了納米實驗室、聲學實驗室、新建的工程系大樓和猶太教教堂。以色列是一個宗教氛圍很濃烈的國家，耶路撒冷是世界三大宗教：基督教、伊斯蘭教和天主教的發(fā)源地。在耶路撒冷老城的山坡上，三大宗教的教堂竟然彼此相鄰地矗立著。當然猶太教堂被羅馬入侵者摧毀了，現(xiàn)在只剩下一面哭墻，每天都有成千的猶太人來到哭墻祈禱。在耶路撒冷的街道上，可以看到穿黑袍的猶太教長老，也可以看到頭上圍著紗巾的阿拉伯婦女。
巴依蘭大學的校長接見了我們，Arad教授和Mina都在。校長也帶著小圓帽，很友好地詢問了中國大學的一些情況，告訴我們以色列和中國在高等教育方面有很多合作。我們只是普通老師，不太了解政府間的合作關系，只知道Mina帶過中國的博士后，我國代數(shù)幾何的學術(shù)帶頭人之一，華師大談勝利教授當年就在巴依蘭大學作為博士后與Mina合作研究，取得了出色的成績。談勝利的學生葉飛現(xiàn)在正在這里做博士后，Mina說他的論文也很出色，準備去香港工作了。校長囑咐Mina，數(shù)學系可以和我們簽訂一份合作協(xié)議，請中國的學校再派更多的博士后來以色列，也可以建立兩國博士生的互派項目，擴大以色列和中國的學術(shù)交流。

在Mina家里。左起：王昆揚、Mina的丈夫、Mina的博士研究生葉飛（來自華師大）、張英伯、Mina。

聽到這里我們特別狼狽，我們四個人中沒有一個在學校或系里能拿得了事兒的，當時北師大的數(shù)學科學院院長，也是現(xiàn)任的中國數(shù)學會基礎教育委員會的主任保繼光是準備和我們一起來歐洲考察的，可是因為規(guī)定院長不能離開學校三周以上沒有來成；首師大數(shù)學學院院長李慶忠倒是和我們一起來歐洲了，但是只去了巴黎和倫敦，因為上級外事部門說去三個國家有游山玩水之嫌。我們只好含含糊糊地答應著校長，最后合影留念，結(jié)束了這次接見。
以色列的英才項目在一定程度上有點類似于科大的少年班，但是避免了少年班智力超常，心理年齡過小，無法與正常大學生溝通的弊病。
目前中國的不少中學老師和一些大學的數(shù)學系教授希望建立我們自己的英才教育課程。如果統(tǒng)一高考在中國一時半會兒還不能改變，以色列英才項目的模式不失為一個很好的選擇。

致謝：感謝陳貴云教授提供的信息。

本文來源：丘成桐,楊樂, 季理真. 數(shù)學與教育[M]（數(shù)學與人文第五輯),北京:高等教育出版社。