關(guān)于狹義相對(duì)論的其它討論。主要是Lorentz變換。

前一篇文章講了坐標(biāo)變換的兩種方式。在狹義相對(duì)論的教學(xué)中把它搞成完全是矩陣運(yùn)算，但是對(duì)于三階張量就不行了；從廣義相對(duì)論角度來(lái)看能看出更多東西來(lái)。

總的來(lái)說(shuō)這篇文章想討論的是：張量的坐標(biāo)變換問題。我們理解張量是按照基展開形式來(lái)理解的，然后坐標(biāo)變換可以把基做變換，也可以直接套張量分量那個(gè)partial/partial的公式。這不限于Lorentz變換，還可以是更加一般的變換。【這是第一種方法】

如果不想對(duì)張量做變換，其實(shí)直接投影在觀測(cè)者Frenet坐標(biāo)也是行的。倒不如說(shuō)后者的物理意義更加直接；前者更大是數(shù)學(xué)意義上的。前面這句話說(shuō)的是廣義相對(duì)論，狹義相對(duì)論的Lorentz變換還是有全局的意義的；廣義相對(duì)論則只能看局部了?！具@是第二種方法】

首先還是僅僅討論一下Lorentz變換。注意后面c全部省略掉了，在結(jié)果上自動(dòng)補(bǔ)上去是很容易的。

第一，在平移坐標(biāo)時(shí)，(t,x,y,z)->(t',x',y',z')是怎么變的，也就是新坐標(biāo)網(wǎng)和舊坐標(biāo)網(wǎng)之間的函數(shù)關(guān)系是什么？兩個(gè)要求：1.反映在三維空間中是速度v的沿x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)；2.變換之后仍然保持度規(guī)diag(-1,1,1,1)。

顯然，y和z方向沒有變動(dòng)。所以只需要考慮t'和x'分別是什么。根據(jù)第一個(gè)要求，x'必然是a(x-vt)的形式。再根據(jù)第二個(gè)要求，-dt^2+dx^2=-dt'^2+dx'^2，代入前面那個(gè)式子就得到

這樣可以列出方程解出來(lái)a=\gamma。這個(gè)\gamma因子就自然而然顯現(xiàn)出來(lái)了。最終結(jié)果就是：

記住這個(gè)式子就完事了。

注意，上面完全是從廣義相對(duì)論的角度推導(dǎo)出的Lorentz變換，不像傳統(tǒng)的構(gòu)造光速不變的推導(dǎo)方式。所以說(shuō)Lorentz變換也不是什么本質(zhì)性的東西，沒必要大說(shuō)特說(shuō)，光速不變也不是什么本質(zhì)性的東西。本質(zhì)還在于Lorentz流形。

第二，其它張量的Lorentz變換如何實(shí)現(xiàn)？首先總結(jié)一下我們常用到的張量。

1.當(dāng)然是最基本的

它的變換就是直接的Lorentz變換。

2.度規(guī)張量

3.Minkovski空間上的世界線，按照弧長(zhǎng)（固有時(shí)）參數(shù)化。其切向量就是單位向量，即4-速度：

當(dāng)然還可以有4-加速度等等。

4.考慮動(dòng)力學(xué)，有4-動(dòng)量：

注意到這個(gè)式子包含了Einstein著名的質(zhì)能方程，而其模1性則給出了質(zhì)殼關(guān)系。4-動(dòng)量守恒包括了能量守恒與動(dòng)量守恒，用來(lái)求解動(dòng)力學(xué)問題足夠。

另外還有光子的4-動(dòng)量

用于討論相對(duì)論光學(xué)問題。

5.電磁場(chǎng)強(qiáng)張量

用于電磁場(chǎng)的變換。

當(dāng)然前面討論的是坐標(biāo)系變換。我們也許可以更簡(jiǎn)單地用觀測(cè)者角度來(lái)分析。直接投影在觀測(cè)者的Frenet標(biāo)架上就知道了觀測(cè)者的觀測(cè)值，觀測(cè)者的世界線可以是任意的；這樣就非常方便。這在GR中也是一樣（GR是局域的）。

如果從觀測(cè)者角度出發(fā)，就根本不需要Lorentz變換了。

比如說(shuō)，從觀測(cè)者角度計(jì)算一下電磁場(chǎng)的變換。假設(shè)有一個(gè)y方向強(qiáng)度為E的均勻電場(chǎng)。一個(gè)觀測(cè)者向x正方向以速度v勻速直線運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)問它感受到的z方向的磁場(chǎng)有多大？

我們有一個(gè)直接的公式：

套進(jìn)去一算就知道答案是

注意到它是一個(gè)小量，它其實(shí)說(shuō)明：磁性是相對(duì)論的二階效應(yīng)，相對(duì)于電場(chǎng)有一個(gè)v/c的壓低。

如果按照投影來(lái)算呢？觀測(cè)者的Frenet標(biāo)架為：

t方向：\gamma(1,v,0,0)

x方向：\gamma(v,1,0,0)

y方向：(0,0,1,0)

z方向：(0,0,0,1)

于是觀測(cè)到的B_3為F_{\mu\nu}的(1,2)部分的投影，即做兩次點(diǎn)乘（注意加上度規(guī)）：

是一樣的結(jié)果。當(dāng)然還是直接套公式簡(jiǎn)單一點(diǎn)。